Zusammenfassung
Nach früheren Ergebnissen1),2) existieren Körper mit beliebiger zweistufiger Gruppe, wenn dies für Gruppen von Primzahlpotenzordnung richtig ist. In der vorliegenden Note wird nun für die Gruppen, die sich aus zwei Elementen von Primzahlordnung erzeugen lassen—für den allgemeinsten Fall vgl. die Bemerkungen am Schluß der Arbeit—, die Konstruktion von zugehörigen Körpern durchgeführt. Die Konstruktion ist so allgemein gehalten, daß man daraus einen Überblick über die wichtigsten Typen absoluter zweistufiger Körper (Klassenkörper der Kreiskörper, kurz Kreisklassenkörper) von Primzahlpotenzgrad erhält. Und zwar werden die Fragen behandelt: Wie fällt die Mannigfaltigkeit der Kreisklassenkörper mit demselben maximalen Kreiskörper aus, wenn man dessen Zahlentheorie kennt, und wie dessen Zahlentheorie, wenn man die seiner zyklischen Unterkörper keent?—Außer mit den Sätzen der Klassenkörpertheorie und dem Reziprozitätsgesetz, den naturgemäßen Hilfsmitteln, wird hier wie in1),2) in weitgehendem Maße mit symbolischen Potenzen und Ordnungen operiert und mit einem Faktorgruppenkalkül, der es ermöglicht, im Bereich der Normalkörper ohne Schwierigkeit zu andern Körpern und deren Galoisgruppe überzugehen. Wesentlich erleichtert werden diese Übergänge durch den Tschebotarjowschen Monodromiesatz6), der es gestattet, jedesmal die Galoisgruppe wieder aus Trägheitssubstitutionen zu erzeugen.
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0.
Einleitung und vorbereitende Definitionen.
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1.
Eine notwendige Konstruktionsbedingung.
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2.
Eine hinreichende Konstruktionsbedingung.
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3.
Erfüllung der hinreichenden Bedingung.
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4.
Der Falll=2.
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References
Über die Bildung algebraischer Zahlkörper mit auflösbarer Galoisscher Gruppe, Math. Zeitschr.30, S. 332–356. Diese Note sei im folgenden mit D. abgekürzt.
Reduktion der Konstruktion von Körpern mit zweistufiger Gruppe. Sitzber. d. Heidelb. Akad. 1929, Nr. 14.
Vgl. Ph. Furtwängler: Beweis des Hauptidealsatzes für die Klassenkörper algebraischer Zahlkörper. Hamb. Math. Sem. Abh.7 (1929), S. 14–36; dort: Formel (4), (7), (11). Die linke Seite von (7) ist hier=E.
Über diese Ausdrucksweise vgl. A. Scholz, Über das Verhältnis von Idealklassen- und Einheitengruppe in Abelschen Körpern von Primzahlpotenzgrad. Sitzber. d. Heidelbg. Akad. 1930, Nr. 3; Anm. 4. Diese Note sei im folgenden mit V. bezeichnet.
N. Tschebotarjow: Zur Gruppentheorie des Klassenkörpers. J. f. M.161 (1929), S. 179–193; Satz 1 (1924).
Genau wird erreicht, daß die Trägheitsgruppen der Diskriminantenteiler vonK 0 beim Übergang zuK ihre Ordnung behalten. Das ist für zyklische Gruppen gleichbedeutend mit Beibehaltung der Elementeordnung. Da aber die Trägheitsgruppen der einzelnen Primideale zyklisch sind, außer wenn sie im Körpergrad aufgehen, dürfen demnach die Diskriminanten vonK 0 undK/K 0 nur eine Potenz vonl gemein haben. Diese singuläre Möglichkeit für die Konstruktion eines Zweigkörpers wollen wir jedoch wegen ihrer Kompliziertheit—außer in der Formulierung des Satzes 2—nicht berücksichtigen, und überhaupt wollen wir ausführlich nur den Fall betrachten, daß die Diskriminante vonK/K 0 zul prim ist, und für den andern Fall nur die nötigen zusätzlichen Angaben machen.
Fürl=2 sind überall mehr oder weniger starke Abänderungen in der Auswahl der zyklischen Körper nötig, weswegen wir den an sich viel einfacher zu behandelnden Falll=2 ganz abtrennen und am Ende der Note anbringen wollen.
Vgl. den Anfang von V.
Für einq=l h reicht auch einT mit Konjugierten.
A. Scholz: Die Behandlung der zweistufigen Gruppe als Operatorengruppe. Heidelb. Ak.-Ber.1933. Loewy-Festschr. Diese Note sei im folgenden mit O. bezeichnet.
Vgl. A. Scholz: Zwei Bemerkungen zum Klassenkörperturm. J.f.M.161 S. 205.
Im Fallep 1=lh bestand ja noch die früher von uns ausgeschaltete Möglichkeit,l im Führer vonK/K 0 aufzunehmen, ohne die Ordnung der Trägheitssubstitution S1 zu vergrößern. Diese Möglichkeit besteht z. B. beiK 12=Kl l2 ·Kp l2 immer, wennp 2≡1(l2), aber(l/p 2)l≠1; nich aber fürp 2≢1 (l2), wie man aus den Ausführungen des 3. Kap., insbesondere (16), angewandt aufKp l2 , entnehmen kann. Absolut einklassig istK 12 in beiden Fällen.
A. Scholz, Abgrenzungssatz der Kreiskörper, Berliner Akad.-Ber. 1931, XXI. Satz I.
Es genügt eine symbolische Basis; durch Ergänzung zu einer natürlichen Basis erhielte man nur den Normalkörper vonK *. Voller Zerfall in einem Körper und dessen Normalkörper fällt aber stets zusammen.
Vgl. etwa H. Hasse, Bericht über das Reziprozitätsgesetz §9 III. Jahresber. d. D. M. V. Ergänzungsband 6, S. 43.
Nach der Bezeichnung von Frobenius.
In H. Hasse's Bericht Ia (Klassenkörpertheorie) die Gruppe (Δ)/(α) in § 13.
In der Bezeichnung von H. Hasse: Bericht über das Reziprozitätsgesetz §9 III. Jahresber. d. D. M. V. Ergänzungsband 6, S. 170; vgl. Fußnote 25). E. Artin, Idealklassen in Oberkörpern und allgemeines Reziprozitätsgesetz Abh. Math. Sem. Hamburg7 (1929), 46–51.
E. Artin, Idealklassen in Oberkörpern und allgemeines Reziprozitätsgesetz Abh. Math. Sem. Hamburg7 (1929), 46–51.
Nach der Bemerkung 2 zur Hauptirrealität ist dann auch keine Norm eines Ideals aus der GrundklasseA Quadratzahl.
Abgesehen von etwaigen dritten Einheitswurzeln, die selbst Quadrate sind.
Vgl. jedoch den Schluß der Note.
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Scholz, A. Die Kreisklassenkörper von Primzahlpotenzgrad und die Konstruktion von Körpern mit vorgegebener zweistufiger Gruppe. I. Math. Ann. 109, 161–190 (1934). https://doi.org/10.1007/BF01449130
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