This is a preview of subscription content, log in via an institution to check access.
References
On suppose que les tangentes aux courbesJ 1 etJ 2 ne se trouvent pas sur une même droite.
D. Menchoff, Sur la représentation conforme des domaines plans. Math. Annalen95 (1926), p. 641.
Dans cette définition on suppose, bien entendu, que σ< π1600 . De plus, nons désignons par\(\overline {z\zeta } \) le segment joignant les pointsz et ζ.
On dit qu'un ensembleE est de première catégorie sur un ensemble parfaitP, lorsqueE peut être représenté comme une somme d'un nombre fini ou d'une infinité dénombrable d'ensembles non denses surP.
On dit qu'un ensembleP est situé dans un domaineD, lorsque tous les points deP se trouvent à l'intérieur ou sur la frontière deD.
Nous désignons par (II,E) la partie commune des ensemblesII etE.
Nous désignerons toujours par mesQ la mesuresuperficielle d'un ensembleQ.
Fig. 1.
Nous supposons, ce qui est toujours possible, que la correspondance entre les points des domainesD et Ω est continue même sur les frontières de ces domaines.
Nous convenons de prendre égale à zéro la distance au trianglew (n)12 w (n)23 w (n)13 d'un point qui appartient à ce triangle.
Le changement du numérotage n'est pas, en général, le même pour les différents pointsw.
Le lemme dont nous nous sommes servi est une conséquence immédiate d'un théorème connu de M. Vitali. Voir, par exemple, Menchoff,Sur la représentation conforme des domaines plans, Mathematische Annalen95 (1926), p. 650.
Stepanoff, Über totale Differenzierbarkeit, Math. Ann.90 (1923), p. 318.
H. Bohr,Über streckentreue und konforme Abbildung, Math. Zeitschrift1 (1918), p. 416 (Hilfssatz 7). — La démonstration directe du lemme 2 est publiée dans le Bulletin de la Société Mathématique de France; D. Menchoff,Sur les fonctions monogènes,59 (1931), p. 146.
Définition 1 du § 2.
Nous prenons les valeurs algébriques de ces distances.
Voir, par exemple, Carathéodory, Reelle Funktionen, Leipzig (1918), p. 632.
Nous désignons, bien entendu, par mese la mesure linéaire de l'ensemblee.
Le nombre ν dépend en général dev.
Définition 1 du § 2.
Nous choisissons les notations de telle façon que les pointsw 1,w 2,w 3 etw 4 soient situés dans un ordre cyclique.
Nous choisissons les notations de telle façon que les pointsz 1,z 2,z 3,z 4 soient situés dans un ordre cyclique.
Nous dirons qu'un pointz′, situé sur une courbe, est le centre de cette courbe, lorsquez′ partage la courbe en deux parties de longueurs égales.
Voir la fig. 5.
Voir aussi D. Menchoff, Sur la représentation conforme des domaines plans, Math. Annalen95 (1926), p. 657.
Un point d'un ensemble parfait, situé sur une courbe de Jordan simple, est ditun point de seconde espèce, lorsque ce point n'est pas extrémité d'un arc contigu à cet ensemble.
Egoroff,Sur les suites de fonctions mesurables Compt. Rend. de l'Académie des Sciences Paris152 (1912), p. 244. L'énoncé du théorème d'Egoroff est le suivant:Lorsque une suite de fonctions mesurables f n(x), n=1,2,3,...,définie dans un ensemble E de mesure positive, possède presque partout dans E une limite finite f(x) pour n→∞,on peut définir un ensemble parfait P, appartenant à E et de mesure aussi voisine que l'on veut de la mesure de E,dans lequel f n(x)tend uniformément vers f(x) pour n→∞. Le théorème reste valable, lorsqueE est un ensemble de points situé dans l'espace à plusieurs dimensions et lorsqu'on remplace l'indice entiern par un paramètre continu.
Lusin, L'intégrale et la série trigonométrique, 1915 (en russe). L'énoncé du théorème de M. Lusin est le suivant:Lorsqu'une fonction f(x) est mesurable et finie presque partout dans un ensemble mesurable E,on peut définir un ensemble parfait P, appartenant à E et de mesure aussi voisine que l'on veut de la mesure de E,dans lequel la fonction f(x) est uniformément continue.
Nous raisonnons ici comme dans la démonstration du lemme du § 6.
Nous désignons par mes lin extG 1 la mesure linéaire extérieure de cet ensemble.
Nous nous servons ici de la proposition suivante:Lorsqu'un ensemble parfait discontinu P à deux dimensions possède une longueur positive (finie ou non), il existe un autre ensemble, appartenant à P, dont chaque portion possède une longueur positive (non nulle). Menchoff,Sur la représentation conforme des domaines plans. Math. Annalen,95, 650 (lemme 3 du § 3).
Nous supposons, en outre, que le pointz * est situé entre les pointsz′ etz **.
Cela résulte de la propriété 3° des rayonsT i (w) et de la condition b) figurant dans la définition 1 du § 2.
D. Menchoff.Sur la représentation conforme des domaines plans, l. c. Math. Annalen95, § 3, lemme 1 lemme 1 du § 3, p. 648.
Nous numérotons ces presque-parallélogrammes dans un ordre quelconque.
Voir, par exemple, Carathéodory, Reelle Funktionen, Leipzig 1918, S. 632.
Nous dirons avec M. Lusin qu'une fonction φ (x) possèdela propriété N dans l'intervalle (a, b), si l'ensemble de ses valeurs pour les pointsx appartenant à un ensemble quelconque de mesure nulle a aussi une mesure nulle. Lusin,L'intégrale et la série trigonométrique (1915), p. 109 (en russe). D'après un théorème de M. Lusin,une fonction continue φ (x) possède la propriété N, lorsque l'ensemble de ses valeurs pour les points appartenant à un ensemble parfait quelconque de mesure nulle a aussi une mesure nulle.
D. Menchoff,Sur la représentation conforme des domaines plans, l. c. Math. Annalen95, p. 645. L'énoncé du théorème est le suivant:Toute fonction continue φ (x) ayant la propriété N dans un intervalle (a, b) et possédant une dérivée sommable, finie presque partout dans (a, b), est une fonction absolument continue.
Author information
Authors and Affiliations
Rights and permissions
About this article
Cite this article
Menchoff, D. Sur les représentations qui conservent les angles. Math. Ann. 109, 101–159 (1934). https://doi.org/10.1007/BF01449128
Received:
Issue Date:
DOI: https://doi.org/10.1007/BF01449128