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Über beschränkte Funktionen, deren Wertevorrat gewisse Lücken aufweist

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  1. C. Carathéodory, Über die Winkelderivierten von beschränkten analytischen Funktionen. Sitzungsber. d. Preuß. Akad. d. Wiss., Phys.-Math. Klasse (1929).

  2. Man beachte, daß in (2) keine Absolutstriche nötig sind; der Limes existiert auch so und ist positiv.

  3. Siehe K. Löwner, Untersuchungen über schlichte konforme Abbildungen des Einheitskreises. I. Math. Annalen89 (1923), S. 103.

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  4. C. Carathéodory, Über beschränkte Funktionen, die in einem Paar von vorgeschriebenen Punkten gleiche Werte annehmen. Monatshefte f. Math. u. Phys.43 (1936), S. 225.

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  5. Die Potenzen vonr definieren wir immer so, daß sie für reelle Werte der Exponenten positiv werden.

  6. Die Sätze I und VII bieten nichts Neues. Sie werden lediglich wegen der Analogie zu den Sätzen über die Winkelderivierte vollständig bewiesen.

  7. Der Index ϰ kann überall dort wegbleiben, wo durch Addition ganzzahliger Vielfachen von 2 π zu ϕ nichts geändert wird.

  8. Verlangt man noch, daß τ im Intervall 0<τ<2π liegt, so gilt τ=π−ϑ. Diese Beziehung ist jedoch für die Rechnung ohne Belang.

  9. Im abgeschlossenen Einheitskreis |z|≦1 konvergiert die Funktionenfolge 0 n fr(z) nicht. Denn es ist 0 n fr(−1)=1 für geradesn und 0 n fr(−1)=−1 für ungeradesn. Die Grenzfunktion0 fr(z) ist im Punktez=−1 wesentlich singulär.

  10. Hurwitz-Courant, Funktionentheorie, 3. Aufl., Berlin 1929, S. 303.

  11. Hurwitz-Courant, a. a. O. Funktionentheorie, 3. Aufl., Berlin 1929, S. 304.

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  1. München

    Helmut Unkelbach

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  1. Helmut Unkelbach
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Diese Arbeit ist von der philosophischen Fakultät, II. Sektion, der Universität München als Dissertation angenommen worden. Herrn Professor O. Perron danke ich herzlich für weitgehende Förderung und Herrn Professor C. Carathéodory für eine Reihe wertvoller Anregungen.

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Unkelbach, H. Über beschränkte Funktionen, deren Wertevorrat gewisse Lücken aufweist. Math. Ann. 115, 205–236 (1938). https://doi.org/10.1007/BF01448939

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