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Literatur
Ein Auszug dieser Arbeit wurde am 7.11.1927 der ungarischen Akademie der Wissenschaften vorgelegt.
Unter einem einfachen Jordanbereiche verstehen wir in üblicher Weise die Menge der Innerhalb und auf einer Jordankurve liegenden Punkte.
Für den wichtigen Sonderfall, wo die Gleichungen (1) eine umkehrbar eindeutige Zuordnung zwischen den Punkten (u, v) und den Flächenpunkten (x, y, z) bestimmen, folgt der fragliche Invarianzsatz aus den schönen Untersuchungen von Herrn Schauder über das Janzensche Flächenmaß (Theory of surface measure, Fundamenta Mathematicae8 (1926), p. 1–48).
Siehe sein Lehrbuch Fondamenti di calcolo delle variazioni, insbesondere Bd. I, S. 26–27, sowie die Berichte von R. Courant, Über direkte Methoden bei Variations-und Randwertproblemen, Jahresbericht der Deutschen Mathematikervereinigung34 (1926), insbesondere S. 94, und Über direkte Methoden in der Variationsrechnung und über verwandte Fragen, Math. Annalen97 (1927), S. 711–736.
Außer dem unter Siehe sein Lehrbuch Fondamenti di calcolo delle variazioni, insbesondere Bd. I, S. 26–27, sowie die Berichte von R. Courant, Über direkte Methoden bei Variations und Randwertproblemen, Jahresbericht der Deutschen Mathematikervereinigung34 (1926), insbesondere S. 94, und Über direkte Methoden in der Variationsrechnung und über verwandte Fragen Math. Annalen97 (1927), S. 711–736. zitierten Lehrbuche von Herrn Tonelli siehe vor allem A. Haar, Über das Plateausche Problem, Math. Annalen97 (1927), S. 124–158.
Vgl. loc. cit. 4) Siehe sein Lehrbuch Fondamenti di calcolo delle variazioni, insbesondere Bd. I, S. 26–27 und Außer dem unter Siehe sein Lehrbuch Fondamenti di calcolo delle variazioni, insbesondere Bd. I, S. 26–27, sowie die Berichte von R. Courant, über direkte Methoden bei Variations-und Randwertproblemen, Jahresbericht der Deutschen Mathematikervereinigung34 (1926), insbesondere S. 94, und Über direkte Methoden in der Variationsrechnung und über verwandte Fragen, Math. Annalen97 (1927), S. 711–736. und Außer dem unter zitierten Lehrbuche von Herrn Tonelli siehe vor allem A. Haar, Über das Plateausche Problem, Math. Annalen97 (1927), S. 124–158, sowie A. Roussel, Sur l'extremum de certaines intégrales doubles, bulletin des sciences mathématiques51 (1927), p. 268–288.
Für den Leser, der aus den geometrischen Entwicklungen dieser Arbeit einen direkten Beweis für die Halbstetigkeit des klassischen Doppelintegrals herauspräparieren will, dürfte eine kleine Note, in welcher ich dies für den Sonderfall ∝ ∝ (1+p 2+q 2)1/2 dxdy durchgeführt habe, die nötigen Fingerzeige enthalten (Bemerkung über das Doppelintegral ∝ ∝ (1+p 2+q 2)1/2 dxdy, Math. Zeitschr.26 (1927), S. 408–416).
Vgl. etwa die besonders elegante und elementare Darstellung bei M. Fréchet, Sur l'aire des surfaces polyédrales, Annales de la soc. polonaise de math.3 (1925), p. 1–3.
H. Lebesgue, Intégrale, longueur, aire, Annali di Matematica (3)7 (1902), p. 231–359.
Z. v. Geöcze: a)Über die rektifizierbare Fläche (ungarisch), Math. és term. tud. értesitö34 (1916), p. 337–354;
——: Über die Peanosche Definition des Flächenmaßes (ungarisch),ibid. (1917), p.325–360.
Vgl. insbesondere seine Arbeit: Recherches générales sur la quadrature des surfaces courbes, Math. und naturwiss. Berichte aus Ungarn27 (1909), S. 1–21 und S. 131–163.
H. Rademacher, Eineindeutige Abbildungen und Meßbarkeit, Dissertation, Göttingen (1917); Über partielle und totale Differenzierbarkeit I und II, Math. Annalen79 (1919), S. 340–359 und81 (1920), S. 52–63. — Ich verdanke Herrn F. Riesz die Anregung, die Rademacherschen Arbeiten zwecks Vereinfachung der Geöczeschen Theorie heranzuziehen.
M. Fréchet, Sur la distance de deux surfaces, Annales de la soc. polonaise de math.3 (1924), p. 4–19.
Vgl. M. Fréchet, Sur le prolongement des fonctionnelles semicontinues et sur l'aire des surfaces courbes, Fundamenta Mathematicae7 (1925), p. 210–224. — Einer der leitenden Gesichtspunkte bei der Erklärung unserer Fundamentalgröße bestand eben darin, den durch die Prozesse a) und b) erklärten GrößenG(F) undP(F) die Eigenschaft der Halbstetigkeit aufzuprägen.
Wegen einer zusammenfassenden Darstellung der Ergebnisse vgl. die beiden Arbeiten (wo auch die Originalarbeiten angeführt sind): T. Radó, Sur l'aire des surfaces courbes, Acta litt. ac sc. regiae univ. hung. Franc-Jos. Szeged3 (1927), p. 131–169 und S. Saks, Sur l'aire des surfacesz=f(x,y), ibid. Franc-Jos. Szeged3 (1927), p. 170–176.
Siehe M. Fréchetloc. cit..
Der Fréchetsche Begriff der Identität von zwei stetigen Flächen wurde von Herrn B. v. Kerékjártó einer tiefgehenden topologischen Analyse unterworfen (involutions et surfaces continues, Acta litt. ac sc. regiae univ. Franc.-Jos. Szeged3 (1927). p. 49–67).
Den folgenden Beweis entnehme ich einer brieflichen Mitteilung von Herrn S. Saks.
Das ZeichenII bedeutet üblicherweise die Menge der gemeinsamen Punkte (Durchschnitt).
Man beachte, daß aus den Voraussetzungen noch keineswegsF (n)→F folgt, so daß das Ergebnis von Nr. 4 nicht unmittelbar angewendet werden darf.
Über den Begriff der Ordnung, sowie über die darauf bezüglichen, im folgenden zu verwendenden Sätze verweisen wir den Leser auf das Buch von Herrn B. v. Kerékjártó, Vorlesungen über Topologie I. (Berlin, Julius Springer, 1923).
Siehe loc. cit. 21)Über den Begriff der Ordnung, sowie über die darauf bezüglichen, im folgenden zu verwendenden Sätze verweisen wir den Leser auf das Buch von Herrn. S. 196, Hilfssatz.
Der sehr anschauliche Ausdrucktotal differenzierbar rührt von Rademacher her und bedeutet dasselbe, wiedifferenzierbar im Sinne von Stolz; was darunter zu verstehen ist, wird im Texte alsbald erklärt.
Bei der folgenden Schlußweise dienten mir die Entwicklungen von Herrn Rademacher über das Vergrößerungsverhältnis bei ein-eindeutigen Abbildungen zum Vorbild [Über partielle und totale Differenzierbarkeit I, Math. Annalen79 (1919), S. 340–359, insbes. S. 350–354].
Der Leser wolle sich eine schematische Figur entwerfen.
Vgl. die rein topologische Fassung bei K. Szilárd, Grundlagen der Funktionentheorie, Math. Zeitschr.26 (1927), S. 655, Satz 2.
Nach einem allgemeinen, von W. Stepanoff verschärften Satze von Rademacher [siehe H. Rademacher, l. c. 24) Bei der folgenden Schlußweise dienten mir die Entwicklungen von Herrn Rademacher über das Vergrößerungsverhältnis bei ein-eindeutigen Abbildungen zum Vorbild [Über partielle und totale Differenzierbarkeit I, Math. Annalen79 (1919), S. 340–359, insbes. S. 350–354]. und W. Stepanoff, Math. Annalen90 (1923), S. 318 bis 320]. — Der im Texte benötigte Sonderfall findet sich bereits bei Geöcze, loc. cit. 10) Über die Peanosche Definition des Flächenmaßes (ungarisch), ibid. Math. és term. tud. értesitö35 (1917), p.337–354.
Diese GrößeG (F) ist mit der von Geöcze untersuchten nicht identisch, da wir seine Fundamentalgröße durch eine andere ersetzt haben. Eine analoge Bemerkung gilt für die in II,3, 1 einzuführende GrößeP (F).
In der Terminologie der Burkillschen Theorie der Intervallfunktionen [J. C. Burkill, Functions of intervals, Proc. of the London Math. Soc. (2)22 (1923), p. 275–310] läßt sich das Wesentliche des Beweisganges dahin charakterisieren, daß zunächstG (F) als das Integral einer gewissen Rechtecksfunktion erkannt und dann mit Hilfe der Ableitung dieser Rechtecksfunktion berechnet wird. — In der Young-Burkillschen Theorie des Flächenmaßes [W. H. Young, On the area of surfaces, Proc. Roy. Soc. A96 (1920), p. 72; J. C. Burkill, The expression of area as an integral, Proc. London Math. Soc. (2)22 (1923), p. 311–336] wird das Flächenmaß direkt als das Integral einer gewissen Rechtecksfunktion erklärt; es wäre interessant zu untersuchen, in welcher Weise aus dieser Theorie die in der Einleitung angeführten Sätze über das klassische Doppelintegral erschlossen werden können.
Vgl. Kerékjártó, loc. cit. 21), S. 107.
Geöcze, loc. cit. 10), b);. vgl. indessen 29). Diese GrößeG (F) ist mit der von Geöcze untersuchten nicht identisch, da wir seine Fundamentalgröße durch eine andere ersetzt haben. Eine analoge Bemerkung gilt für die in II,3, 1 einzuführende GrößeP (F).
Herr Fréchet hat für diese letztere Tatsache einen direkten Beweis geliefert (La semi-continuité en géométrie élémentaire, Nouvelles Annales de Math.3 (1924).
Lebesgue, loc. cit. 9)..
Geöcze, loc. cit. 10), a).; — In diesem Satze ist insbesondere enthalten, daß für jede PolyederflächeE (II)=L (II) gilt; denn nach II, 2, 1 hat manE (II)=I (II).
Siehe H. Rademacher, Partielle und totale Differenzierbarkeit II, Math. Annalen.81 (1920), S. 52–63, insbesondere S. 60, Satz IX.
Vgl. 29). Diese GrößeG (F) ist mit der von Geöcze untersuchten nicht identisch, da wir seine Fundamentalgröße durch eine andere ersetzt haben. Eine analoge Bemerkung gilt für die in II,3, 1 einzuführende GrößeP (F).
Geöcze, loc. cit. 10), b);. vgl. indessen 29). Diese GrößeG (F) ist mit der von Geöcze untersuchten nicht identisch, da wir seine Fundamentalgröße durch eine andere ersetzt haben. Eine analoge Bemerkung gilt für die in II,3, 1 einzuführende GrößeP (F).
Aus den Ergebnissen meiner unter 15) zitierten Arbeit folgt leicht, daß die BeziehungG (F)=L (F) für jede in der Formz=f (x, y) darstellbare stetige Fläche gilt. Die schnittartige Bestimmung des Flächenmaßes ist somit a) für jede rektifizierbare Fläche, b) für jede in der Formz=f (x, y) darstellbare stetige Fläche geleistet.
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Radó, T. Über das Flächenmaß rektifizierbarer Flächen. Math. Ann. 100, 445–479 (1928). https://doi.org/10.1007/BF01448856
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