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Sur quelques récents résultats dans la théorie des surfaces algébriques

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  1. Comptes Rendus de l'Ac. d. Sc. 1868.

  2. Zur Theorie des eindeutigen Entsprechens... I, II, Math. Annalen Bd. 2, 8, 1869, 1874.

  3. Voir les deux MémoiresSur les intégrales de différentielles totales algébriques..., Journal de Mathém. 4e, se, t. I, 1885; leMémoire sur la théorie des fonctions algébriques, J. d. M. 4e se, t. V; ainsi que plusieurs Notes dans les Comptes Rendus de l'Ac. d. Sc., Déc. 1884.

  4. Comptes Rendus de l'Ac. d. Sc., Déc. 1884.

  5. Théorie générale des surfaces hyperelliptiques, Journal de Mathématiques, 4e 8e, t. IX;Sur quelques points de la théorie des courbes et des surfaces algébriques, Journ. d. Math. 4e 8e, t. X; ainsi que plusieurs Notes dans les Comptes Rendus de l'Ac. d. Sc., 1893–95.

  6. Consulter aussi sur ce sujet le Mémoire de M. Nöther,Ueber die totalen algebraischen Differentialausdrücke, Math. Annalen, 29, 1886.

  7. Ueber die algebraischen Functionen..., Math. Annalen, Bd. VII, 1873.

  8. Voici en ordre chronologique les travaux principaux dont nous exposons ici les résultats, pour ce qui concerne la théorie générale des surfaces algébriques; (pour la théorie des surfaces rationelles nous donnerons ailleurs les citations relatives): Enriques,Ricerche di geometria sulle superficie algebriche, Mem. dell' Acc. d. Scienze di Torino se 2a, t. 44, 1893. Enriques,Introduzione alla Geometria sopra le superficie algebriche, Mem. della Società Italiana d. Scienze se III, t. X, 1896. Castelnuovo,Alcuni risultati sui sistemi lineari di curve appartenenti ad una superficie algebrica, ibid. Mem, della Società Italiana d. Scienze se III, t. X, 1896. Castelnuovo,Sulle superficie di genere zero, ibid., Mem. della Società Italiana d. Scienze se III, t. X, 1896. Enriques,Sui piani doppi di genere uno, ibid., Mem. della Società Italiana d. Scienze se III, t. X, 1896.

  9. Mém. cité, Mathem. Annalen 8, pag. 521.

  10. Ueber die algebraischen Functionen..., Math. Annalen Bd. 7, 1873.

  11. Comptes Rendus de l'Acad. d. Sc., Déc. 1868.

  12. Mémoire cité,Zur Theorie...; Mathem. Annalen 2, 8.

  13. On the Deficiency of certain Surfaces, Mathem. Annalen, 3, 1871.

  14. Zeuthen,Etude géométrique..., Mathemat. Annalen, 4, 1871; Nöther,Zur Theorie..., Math. Annalen, 8, pag. 526.

  15. La méthode analytique proposée à cet effet par M. Nöther ne fournit pas une définition directe, permettant le calcul dep n, car on doit reconrir à une transformation de la surface. Voir à ce sujet Nöther, Göttinger Nachrichten, 1871, Mathem. Annalen, 29, ainsi que Zeuthen,Révision et extension des formules numériques... Mathem. Annalen 10, pag. 544, 1876.

  16. Ainsi que nous l'avons dit dans l'introduction, nous présentons ici la théorie géométrique des séries linéaires (qui est due à MM. Brill et Nöther, Mém. cité) suivant le plan adopté dans quelques travaux italiens. On trouvera les développements et les citations relatives dans la Monographie de M. Segre,Introduzione alla geometria sopra un ente algebrico..., Annali di Matematica se. II, tomo XXII, 1894. Dans le même volume on pourra aussi consulter avec profit une Monographie de M. Bertini, où le même sujet est exposé au point de vue de Brill et Nöther.

  17. Segre, l. c.,Introduzione alla geometria sopra un ente algebrico..., Annali di Matematica se. II, tomo XXII, 1894.

  18. Ce théorème a été donné en même temps (juin 1893) par MM. Humbert (Comptes Rendus de l'Ac. d. Sc.; voir aussi Journal de Mathématiques, 4e série t. X) et Castelnuovo (Atti dell' Accad. d. Sc. di Torino).

  19. Enriques,Una questione sulla linearità..., Rendic. della R. Accad. d. Lincei, luglio 1893; la démonstration est rapportée avec quelques simplifications dans la Monographie citée de M. Segre, n0 27.

  20. L'importance de cette série dans l'étude des systèmes linéaires de courbes planes a été remarquée par MM. Segre (Sui sistemi lineari..., Rendic. Circolo Mat. di Palermo, tomo I, 1887) et Castelnuovo (Ricerche generali sopra i sistemi lineari..., Memorie dell' Acc. d. Sc. di Torino, se II, t. 42). Quant à la considération de cette série sur les surfaces on n'a qu'à consulter les travaux de MM. Enriques et Castelnuovo, cités dans l'introduction.

  21. Enriques,Introduzione alla Geometria sopra le superficie algebriche, Mem. della Società Italiana d. Scienze se III, t. X, 1896.

  22. La notion de système complet (par rapport au degré),sistema normale a été introduite par M. Enriques (Ricerche di geometria... I, 2;Introduzione...); l'extension aux variétés ∞r se trouve dans la Monographie citée de M. Segre (n0 26). M. Enriques dans le premier Mémoire parle aussi des systèmes complets par rapport au genre, qu'il appellesistemi completi. Nous n'y recourons pas dans ce Mémoire.

  23. Enriques,Introduzione alla Geometria sopra le superficie algebriche, Mem. della Società Italiana d. Scienze se III, t. X, 1896.

  24. Enriques,Introduzione alla Geometria sopra le superficie algebriche, Mem. della Società Italiana d. Scienze se III, t. X, 1896, n0 11.

  25. Segre,Introduzione alla geometria sopra un ente algebrico..., Annali di Matematica se. II, tomo XXII, 1894. n0 59. Vraiment on entendait quelques fois parsomme de deux séries g mq ,g nr (complètes, ou non) la série d'ordrem+n et de la plus petite dimension, qui contient les groupes composés d'un groupe deg mq et d'un groupe deg nr (voir Castelnuovo,Sui multipli di una serie lineare..., Rendic. Circolo Mat. di Palermo, t. VII). Mais dans cette Monographie nous adoptons la définition exposée ci-dessus.

  26. Segre,Introduzione alla geometria sopra un ente algebrico..., Annali di Matematica se. II, tomo XXII, 1894 n0 58.

  27. Enriques, Introduzione alla Geometria sopra le superficie algebriche, Mem. della Società Italiana d. Scienze se III, t. X, 1896. n0 13.

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  28. Enriques,Introduzione alla Geometria sopra le superficie algebriche, Mem. della Società Italiana d. Scienze se III, t. X, 1896, n. 15, 16.

  29. Brill et Nöther, l. c.Ueber die algebraischen Functionen..., Math. Annalen, Bd. VII, 1873.

  30. Brill et Nöther, l. c.Ueber die algebraischen Functionen..., Math. Annalen, Bd. VII, 1873, pag. 275; voir aussi Segre,Introduzione alla Geometria sopra le superficie algebriche, Mem. della Società Italiana d. Scienze se III, t. X, 1896, n0 77.

  31. LeRestsatz provient done de deux propositions bien distinctes, dont l'une appartient proprement à laGéométrie sur la courbe, et se rapporte aux opérations d'addition et de soustraction des séries (n0 9); tandis que l'autre proposition appartient à laGéometrie du plan, et exprime la propriété des systèmes de courbes adjointes que nous avons énoncée ci-dessus. On pourrait même remarquer que leRestsatz (comme il est énoncé par MM. Brill et Nöther) dit un pen moins que la réunion de nos deux propositions, car il se borne à affirmer que la série découpée par les courbes adjointes de la manière indiquée, ne dépend pas de celles-ci, tandis que nous affirmons en outre que la même série est complète; mais il faut d'ailleurs remarquer que cette dernière partie se déduit sur le champ de la première. Voir Brill et Nöther, l. c.Ueber die algebraischen Functionen..., Math. Annalen, Bd. VII, 1873, pag. 273; Segre,Introduzione alla Geometria sopra le superficie algebriche, Mem. della Società Italiana d. Scienze se III, t. X, 1896, n0 78.

  32. Brill et Nöther, l. c.Ueber die algebraischen Functionen..., Math. Annalen, Bd. VII, 1873, pag. 308; Castelnuovo,Ricerche generali sopra is sistemi lineari di curve appartenenti ad una superficie algebrica, l. c. n0 18.

  33. Enriques,Introduzione... n0 17; M. Nöther (Zur Theorie..., Math. Annalen 8, pag. 509) appelleadjungirte Flächen les surfaces que nous appelonssous-adjointes, et réserve le nom desurfaces ϕ aux surfaces d'ordren−4 qui, d'après cette Monographie, sontadjointes à F. Le développement de la théorie des surfaces a conseillé ce changement de locutions.

  34. Enriques,Introduzione alla Geometria sopra le superficie algebriche, Mem. della Società Italiana d. Scienze se III, t. X, 1896. n0 35 (vraiment on y considère les surfaces adjointes, mais la chose est vraie aussi pour les surfaces sous-adjointes). Le même théorème s'ensuit aussi duRestsatz de M. Nöther dont nous allons parler tout à l'heure.

  35. Zur Theorie des eindeutigen Entsprechens..., I, II, Math. Annalen 8, pag. 509; il y aurait à répéter ici une remarque analogue à celle, que nous avons faite à propos des courbes planes.

  36. Ueber die algebraischen Functionen... pag. 280; voir aussi Segre,Introduzione..., n0 73.

  37. Brill et Nöther; Segre-l. c.Ueber die algebraischen Functionen..., Math. Annalen, Bd. VII, 1873,

  38. Nöther,Rationale Ausführung der Operationen... § 31, Math. Annalen 23, 1883; Castelnuovo,Ricerche generali sopra i sistemi lineari... n0 27.

  39. Premiers fondements pour une théorie..., 4me partie, Atti dell' Accad. d. Sc. fis. e mat. di Napoli, serie II, vol. 40. Voir aussi ≪Journal für die Mathem. 114≫, et 〈Acta Mathem. 19〉.

  40. Ricerche generali sopra i sistemi lineari..., l. c.

  41. Sui gruppi continui..., Rendic. della R. Accad. d. Lincei, 1893.

  42. Enriques, Ricerche di geometria sulle superficie algebriche, Mem. dell' Acc. d. Scienze di Torino se 2a, t. 44, 1893 III, 5;Introduzione h. IV; Humbert,Sur la théorie générale des surfaces unicursales, Math. Annalen 45, 1894.

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  43. Voir à ce propos les Mémoires cités de MM. Enriques et Humbert.

  44. A la définition du système adjoint iei rapportée, est consacré le Chap. III de laIntroduzione... de M. Enriques.

  45. Enriques,Introduzione alla Geometria sopra le superficie algebriche, Mem. della Società Italiana d. Scienze se III, t. X, 1896, 30.

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  46. Zur Theorie des eindeutigen Entsprechne ... I, II, Math. Annalen 8, pag. 510; voir aussi une Note du même auteur dans les Götting. Nachrichten (1871), et le MémoireUeber die totalen algebraischen Differentialausdrücke, Math. Annalen 29. M. Nöther s'occupe en particulier des surfaces adjointes de l'ordren-4 (ψ-Flächen), que nous allons étudier ensuite. Voir aussi (pour des surfaces partienlières) le Mémoire cité de M. Humbert, et l'autre Mémoire du même auteurThéorie générale des surfaces hyperelliptiques, Journal de Mathém. 4e, se, te IX, pag. 394, 1893.

  47. Zur Theorie des eindeutigen Entsprechens ... I, II, pag. 510, Math. Annalen. 8; voir aussi le Mémoire,Ueber die algebraischen Raumeurven, Denkschriften der Berliner Akad. 1882, pag. 12.

  48. Au sujet des ordres de multiplicité des points-base qui appartiennent aux deux systèmes considérés dans cette rélation, il y aurait une observation à faire, car ces ordres peuvent différer d'une unité; qu'il nous soit permis de l'omettre, attendu qu'ici nous nous proposons seulement d'esquisser la démonstration. Voir la démonstration complète dans le n0 38 de l'Introduzione ..., Math. Annalen, Bd. VII, 1873. de M. Enriques.

  49. Zur Theorie des eindeutigen Entsprechens ... I, II, pag. 520, ibid.

  50. Nöther,Zur Theorie des eindeutigen Entsprechens ... I, II, pag. 514, ibid.

  51. Zur Theorie des eindeutigen Entsprechens ... I, II, pag. 523, ib. Voir aussi Castelnuovo,Osservazioni intorno alla geometria sopra una superficie, Rendic. Istituto Lombardo 1891. Nota I, § 2.

  52. Zur Theorie des eindeutigen Entsprechens ... I, II, pag. 520, ibid.

  53. Uebe die algebraischen Functionen..., Math. Annalen, Bd. VII, 1873. l. c.

  54. Enriques,Introduzione all Geometria sopra le superficie algebriche, Mem. della Società Italiana d. Scienze Se II, t. X, 1896 n0 41.

  55. Enriques,Introduzione alla Geometria sopra le superficie algebriche, Mem. della Società Italiana d. Scienze Se II, t. X, 1896. n0 40.

  56. Voir les citations au n0 4.

  57. Voir à ce propos: Nöther,Sulle curve multiple di superficie algebriche, Annali di Matem. serie II, t. 50, (1871) pag. 172.

  58. Enriques,Introduzione, Math. Annalen, Bd. VII, 1873 n0 40. On peut vérifier ce théorème sur les surfaceshyperelliptiques (P g=1,P R=−1); voir à ce sujet Humbert,Théorie générale des surfaces hyperelliptiques n0 130, 144; l. c.

  59. Enriques,Introduzione, Math. Annale, Bd. VII, 1873. n0 40. l. c.; pour les surfaces hyperelliptiques voir Humbert, l. c., n0 144. Pour les surfaces reglées voir ci-dessus, n0 26.

  60. Castelnuovo,Alcuni risultati sui sitemi lineari di curve appartementi ad una Superficie algebrica, ibid., 1896. n0 7; on y trouvera la démonstration seulement pour le casP g=P n; l'Auteur se propose d'exposer prochainement la démonstration complète. On peut vérifier le théorème sur les surfaces hyperelliptiques (Humbert, l. c., n0 114), et sur les surface réglées (Segre, Mathem. Annalen, 34, n0 3.).

  61. Castelnuovo,Alcuni risultati sui sistemi lineari di curve appartenenti ad una superficle algebrica, ibid., 1896. n0 6.

  62. Castelnuovo,Alcuni risultati sui sistemi lineari di curve appartenenti ad una superficie algebrica, ibid., 1896. n0 10. La connaissance d'un faisceau irrationnel suffit aussi pour reconnaître que la surface possède des intégrales de différentielles totales de première espece.

  63. On trouvera des exemples de telles surfaces dans une Note de M. Castelnuovo,Osservazioni intorno alla geometria sopra una superficie, Rendic. Istituto Lombardo, serie II, vol. 24, pag. 135.

  64. Humbert,Théorie générale des surfaces hyperelliptiques, Journal de Mathém., 4e série, te IX; voir aussi pourP=3 deux Notes du même auteur dans les Comptes Rendus de l'Ac. d. Sc., Février 1895.

  65. Enriques,Introduzione alla Geometria sopra le superficie algebriche, Mem. della Società Italiana. d. Scienze Se II, t. X. 1896, n0 39.

  66. Enriques,Introduzione alla Geometria sopra le superficie algebriche, Mem. della Società Italiana d. Scienze Se III, t. X, 1896. n0 39; Castelnuovo,Sulle superficie di genere zero, n0 15.

  67. Castelnuovo,Alcuni risultati sui sistemi lineari di curve appartenenti ad una superficie algebrica, ibid., 1896. n0 6. l. c.

  68. Zur Theorie des eindeitugen Entsprechens... I, II, Math. Ann. 8, p. 252.

  69. Enriques,Sopra le superficie algebriche di cui le curve canoniche sono iperellittiche. Rendic. Accad. Lincei 1896.

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  70. Castelnuovo,Osservazioni interno alla geometria sopra una superficie, Nota II, Rendic. Istit. Lombardo 1896.

  71. Brill et Nöther,Ueber die algebraischen Functionen..., Math. Ann. 7.

  72. Castelnuovo,Ricerche generali sopra i sistemi lineari di curve piane, l. c. n0 1.

  73. Castelnuovo,Osservazioni interno all geometria sopra una superficie, Nota II, Rendic. Instit. Lombardo 1896. l. c., n0 18.

  74. Segre,Sui sistemi lineari, Circolo Matem. di Palermo, t. I, 1887.

  75. Pour les surfaces régulières on trouvera démontré ce théorème dans lesRicerche di geometria ... de M. Enriques, IV, 2; pour une surface quelconque voir Castelnuovo,Alcuni risultati ..., n0 8. Il est à remarquer que ce théorème fournit une nouvelle définition deP n.

  76. Castelnuovo,Osservazioni interno alla geometria sopra una superficie, Nota II, Rendic. Istit. Lombardo 1896. l. c.

  77. L'extension du théorème de R.-R. aux surfaces est due à M. Nöther (Comptes Rendus de l'Ac. des Sc. 1886), dans l'hypothèse sousentendue que la série caractéristique du système |C| soit complète; nous savons à présent que cette hypothèse est vérifiée toujours sur une surface régulière (P g=P n=P). M. Nöther présente la relation du théorème sons la forme\(r_1 \geqq p + n - \pi - r;\) c'est M. Enriques (Ricerche di geometria ... IV, 2) qui a montré la signification géométrique de la différence ω entre les deux membres de l'inégalité; voir à ce propos les lignes qui suivent ci-dessus.

  78. Outre la dimensionr 1 du système |K−C|, résiduel de |C| par rapport au système canonique, on peut exprimer aussi les autres caractèresn 1 (degre), 301-1 (genre), 301-2 (surabondance), du nouveau système à l'aide des caractères du système |C|. On n'a qu'à recourir aux relations du n0 9. On trouvera ainsi\(\begin{gathered} \pi _1 = p^{(1)} - 3(\pi - 1) + 2n, \hfill \\ n_1 = p^{(1)} - 1 - 4(\pi + 1) + 3n, \hfill \\ \omega _1 = \omega , \hfill \\ \end{gathered}\) oùP (1) est le genre da système canonique (Curvengeschlecht). Voir à ce sujet Enriques, l. c..

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  79. Ueber den Zusammenhang ... Math. Annalen, 3, 1870.

  80. Ueber die ein-zweideutigen Ebenentransformationen, Sitzungsber. d. phys. medicin. Soc. zu Erlangen, 1878;Ueber eine Classe ..., Math. Annalen, 33.

  81. Ueber Flächen, welche Schaaren rationaler Curven besitzen. Math. Ann., 3, 1870.

  82. Pour π=1 le théorème dépend de la réduction des systèmes de courbes elliptiques planes à des types bien connus; voir les travaux de MM. Bertini (Annali di Matematica, se 2e, t. 8, 1877), Guccia (1886), Martinetti (1887) (Rendic. Circolo Mat. di Palermo, t. I), Jung (Rendic. Istituto Lombarbo 1887–88). Pour π>1 les limites supérieures den etr ont été assignées par M. Castelnuovo (Massima dimensione ..., Annali di Matem. se 2e, t. 18, 1890).

  83. La correspondance qui passe entre les points d'un plan double rationnel et les couples de points d'un plan simple, donne lieu, sur celui-ci, à uneinvolution de (∞2)couples de points. Or les types de ces involutions qui sont distinctes par rapport aux transformations birationnelles, ont été déterminés par M. Bertini (Ricerche sulle trasformazioni univoche involutorie del piano. Annali di Matem. se 2e, t. 8, 1877); ils correspondent naturellement aux trois types de plans doubles. La possibilité de l'existence d'autres types, en dehors des précédents, qui n'était pas excluse par le Mémoire de M. Bertini, a été écartée par des recherches ultérieures (Kantor, Castelnuovo).

  84. Ueber die rationalen Flächen vierter Ordnung, Math. Annalen, 33, 1888.

  85. l. c. Math. Annalen, 3.

  86. Sur les surfaces algébriques dont toutes les sections planes sont unicursales, Journal für Mathem., 100, 1885; voir aussi Guccia, Rendic. Circolo Mat. di Palermo, t. I, 1886.

  87. Castelnuovo,Sulle superficie algebriche che contengono una rete di curve iperellittiche, Rendic. della R. Acc. d. Lincei, 1894; la démonstration est rapportée par M. Enriques dans le MémoireSui sistemi lineari di superficie algebriche ..., n0 8, Math. Annalen, 46.

  88. Castelnuovo,Sulle superficie algebriche le cui sezioni piane sono curve ellittiche, Rendic. della R. Acc. d. Lincei, 1894; voir aussi Enriques,Sui sistemi lineari ..., n0 5.

  89. Castelnuovo,Sulle superficie algebriche che contengono una rete di curve iperellittiche, Rendic. della R. Acc. d. Lincei, 1894, l. c.; Enriques l. c.Sopra le superficie algebriche di cui le curve canoniche sono iperellittiche. Rendic. Accad. Lincei 1896. n0 8.

  90. Enriques,Sui sistemi lineari di superficie algebriche..., Rendic. della R. Acc. d. Lincei 1893, Math. Annalen 39.

  91. Voir pour ces résultats les Mémoires cités de MM. Castelnuovo et Enriques.

  92. Castelnuovo,Sulle superficie algebriche le cui sezioni sono curve di genere 3, Atti dell' Acc. d. Scienze di Torino, vol. 25, 1890.

  93. Sulle superficie di ordine n immerse nello spazio di n+1 dimensioni (Rendic. Accad. di Napoli, 1885);Sulle superficie dell' n 0 ordine immerse nello spazio di n dimensioni (Rendic. Circolo Mat. di Palermo t. I, 1887).

  94. Castelnuovo,Sulle superficie di genere zero.

  95. Castelnuovo,Sulle superficie di genere zero. l. c.

  96. Castelnuovo,Sulla razionalità delle involuzioni piane, Math. Ann. 44, 1893.

  97. Castelnuovo,Sulle superficie algebriche che contengono una rete di curve iperellitiche, Rendic. della R. Acc. d. Lincei, 1894, l. c.

  98. Humbert, Comptes Rendus, 1893;Sur quelques points de la théorie ..., Journal de Mathématiques 4e se, te X; Castelnuovo,Sulla linearità delle involuzioni ..., Atti dell' Acc. d. Sc. di Torino, vol. 28, 1893.

  99. Castelnuovo,Sulle superficie algebriche che contengono una rete di curve iperellitiche, Rendic. della R. Acc. d. Lincei, 1894. l. c.

  100. Voir les Mémoires cités dans l'Introduction.

  101. Castelnuovo et Enriques, Comptes Rendus de l'Ac. d. Sc. 1895; voir aussi dans le même recueil (1895) une Note de M. Painlevé. Au sujet des

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Castelnuovo, M.G., Enriques, F. Sur quelques récents résultats dans la théorie des surfaces algébriques. Math. Ann. 48, 241–316 (1896). https://doi.org/10.1007/BF01447947

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