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Literatur
Zur endgültigen axiomatischen Festlegung der hyperkomplexen Systeme vgl. § 1. Die hier als “hyperkomplexe Systeme” bezeichneten Bereiche sind identisch mit denjenigen Ringen, die ich in den Arbeiten: Algebraische Theorie der Ringe I und II (Math. Ann.88 (1922), S. 80–122 bzw.91 (1924), S. 1–46) ausführlich untersucht habe. In Zukunft werden die genannten Arbeiten mit A. I und A. II zitiert.
Unter einem endlichen Zahlkörper verstehen wir einen Körper der aus dem der rationalen Zahlen durch eine endliche algebraische Erweiterung entsteht (nicht etwa einen Körper mit endlich viel Elementen).
Im folgenden werden die Grundbegriffe der allgemeinen Idealtheorie als bekannt vorausgesetzt. Vgl. die Zusammenstellungen in A. I. § 1, sowie Krull: Ein neuer Beweis usw., Math. Annalen70 (1923), § 2.
Vgl. die axiomatische Einführung der allgemeinen hyp. S. in A. II § 2, die mir indes weniger naturgemäß zu sein scheint als die hier gegebene; vgl. auch A. II § 3, wo gezeigt wird, daß die gewöhnlichen endlichen kommutativen hyp. S. unter unsere Ringe gehören. Das “Endlichkeitsaxion 2” des Textes kann auch kurz so formuliert werden: “Jede Idealquotientenkette bricht im Endlichen ab”. Es bedeutet eine wesentlich schwächere Voraussetzung als der “Satz von der endlichen Kette”: “Jede Teilerkette bricht im Endlichen ab” (vgl. § 4).
Zur eindeutigen additiven Zerlegung vgl. insbesondere E. Noether und W. Schmeidler: Moduln in nichtkommutativen Bereichen usw., Math. Zeitschr.8 (1910), S. 1–35, § § 4 und 5, sowie A. II § 2. Außerdem E. Noether, Abstrakter Aufbau der Idealtheorie, Math. Ann.96 (1926), § § 4, 5 und die Zusammenstellung in § 3 der Diskriminantenarbeit Journ. f. Math. Jubiläumsband 1926.
Vgl. E. Noether, Idealtheorie in Ringbereichen, Math. Ann.83 (1921), S. 23 bis 66 § 10, sowie die dort über Polynomideale angegebene Literatur.
Dies hier nebenbei gewonnene Ergebnis bildet den Hauptsatz von A. I. § 5.
Vgl. A. I § 3, wo Spezialfälle unseres Satzes behandelt sind.
Vgl. E. Noether, Eliminationstheorie und allgemeine Idealtheorie, Math. Ann.90 (1923); einfacher bei v. d. Waerden, Zur Nullstellentheorie der Polynomideale, Math. Ann.96 (1926).
Hingegen soll unter dem Wort “algebraische Erweiterung” stets eine echte Erweiterung vonR im Sinne der zu Beginn des Paragraphen gegebenen Definition verstanden werden.
Vgl. A. II § 1, S. 7.
Über vollkommene und unvollkommene Körper vgl. Steinitz, Algebraische Theorie der Körper, Journal f. Math.137 (1910), S. 167–309, insbesondere § 11.
Die hier zur Konstruktion des Trägheitsringes benutzte Schlußweise findet sich häufig in A. I. und A. II, z. B. A. I. § 10, A. II § 4, 6 und 7. —Der Trägheitsring vonR q hinsichtlichR ist im allgemeinen keine “regulär algebraische” Erweiterung vonR q im Sinne von A. I. und A. II. Es kann nämlich zwischen endlich viel Elementen ausR t eine lineare Relation mit Nullteilerkoeffizienten ausR bestehen, ohne daß sich eines von ihnen linear durch die übrigen ausdrücken ließe.R t besitzt daher hinsichtlichR im allgemeinen keine “reguläre Modulbasis” im Sinne von A. II § 4.
Vgl. dazu die in 7) zitierte Arbeit: E. Noether, Abstrakter Aufbau der Idealtheorie ..., Einleitung.
Nach Dedekind: Über die Anzahl der Idealklassen in den verschieden Ordnungen eines endlichen Körpers, Gauß-Festschrift Braunschweig 1877.
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Krull, W. Algebraische Erweiterungen kommutativer hyperkomplexer Systeme. Math. Ann. 97, 473–489 (1927). https://doi.org/10.1007/BF01447878
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DOI: https://doi.org/10.1007/BF01447878