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Sur l'extension du théoréme limite du calcul des probabilités aux sommes de quantités dépendantes

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Literatur

  1. Math. Ann. 85.

  2. Mémoires de l'Académie de St. Pétersbourg (8)11 (1901).

  3. «Extension des théorèmes limites du calcul des probabilités aux sommes de quantités liées en chaînes» (en russe)Mémoires de l'Acad. des Sciences de St. Pétersbourg (8)22. — «Étude du cas général des expériences, formant une chaîne», ibidem25 (en russe).—»Sur un cas d'expérieces formant une chaine complexe», Bulletin de l'Acad. Impériale de St. Pétersbourg 1911 (en russe).—»Sur les quantités dépendantes ne formant pas une véritable chaîne», ibid.(en russe).— »Recherches sur un cas remarquable d'épreuves dépendantes», Acta Mathematica3 (en français). —»Application de la méthode des espérances mathématiques à des sommes de quantités dépendantes», Bulletin de l'Acad. Impériale des Sciences 1915 (en russe).

  4. Il est, bien entendu, sans importance quen→∞ au lieu de tendre vers une autre limite quelconque: nous faisons cette hypothése qui se présente le plus souvent et à laquele le cas général se ramène par un changement de paramètres, uniquement pour fixer les idées.

  5. «Nouvelle forme du théorème sur la limite de probabilité».

  6. Nous nous appuyons sur l'inégalité générale (AB)+1≧(A)+(B), où (A) et (B) sont les probabilités de deux événements quelconques, et (AB) la probabilité de leur réalisation simultanée.

  7. II est aisé de vérifier, que d'après cette condition, λ≦2; et, si on tient compte de 2., il en résulte λ≦1+ϱ.

  8. Dans tous les cas, c'est celle des deux inégalités (45) et (45bis) qui est la moins restrictive qui est suffisante, car, pour λ≦1, (45) est une conséquence de (45bis), et, pour λ>1, c'est l'inverse qui a lieu.

  9. M, H. etN sont, bien entendu, des constantes fixes.

  10. À moins que le facteur deg 3/2λ ne soit-inférieu àL, auquel cas c'est parL qu'il faudra le remplacer.

  11. Il n'y aurait rien à changer dans les raisonnenments, si 1/n α était remplacé parc/n α dans (99),c étant un nombre positif fixe.

  12. A. Markoff, «Etude du cas général des expériences formant une chaîne» p. 5. (Mém. de l'Ac. de St. Pétersbourg 25.)

  13. A. Markoff, «Sur un cas d'expériences formant une chaîne complexe» (en russe), Bullet. de l'Acad. Impériale de St. Pétersbourg 1911.

  14. Supposons, pour fixer les idées, quem=n.

  15. Il est évident d'ailleurs que siR n tendait encore plus rapidement vers 1, la conclusion qui suit subsisterait a fortiori; voir le § 21.

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  1. Charkow, Ukraine

    Serge Bernstein

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  1. Serge Bernstein
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Bernstein, S. Sur l'extension du théoréme limite du calcul des probabilités aux sommes de quantités dépendantes. Math. Ann. 97, 1–59 (1927). https://doi.org/10.1007/BF01447859

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  • DOI: https://doi.org/10.1007/BF01447859

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