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Literatur
cf. August: Disquisitiones de superficiebus tertii ordinis. Diss. inaug. Berol. 1862.
cf. Rosanes: Ueber linear-abhängige Punktsysteme (1879) Crelle's Journ. Bd. 88.
cf. Schubert: Die trilineare Beziehung zwischen 3 einstufigen Grundgebilden (1880) Math. Ann. Bd. 17.
cf. Schubert: Lösung des auf die trilineare Beziehung ausgedehnten Projectivitätsproblems. Hamburg 1882.
Von den zahlreichen Arbeiten von Le Paige über diesen Gegenstand, welche in den Schriften der verschiedensten Akademien und anderer gelehrten Gesellschaften sich vorfinden, seien hier nur die beiden zusammenfassenden Arbeiten erwähnt: Essais de géom. supér. du IIIième ordre, Mém. de la société roy. des sciences de Liège II Ser. Tome X 1883; sowie: Le Paige et M. F. Folie: Mémoire sur les courbes de troisième ordre, Mém. de l'acad. roy. de Belg. Tome 43 u. 45, wo sich auch weitere Citate über die sonstigen Untersuchungen des Verf. über diesen Gegenstand vorfinden.
cf. Hauck: Die trilineare Beziehung zwischen 3 einstufigen Grundgebilden, Crelle's Journ. Bd. 108.
cf. Schubert: Die trilineare Beziehung zwischen 3 einstufigen Grundgebilden, Math. Ann. Bd. XVII, p. 457–472.
cf. Le Paige: Essais de géométrie supérieure du troisième ordre. Mém. de la soc. roy. de Liège II Sér. Tome X. 1883.
cf. Rosanes: Cr. Journ. Bd. 88, p. 289.
cf. Le Paige, l. c. p. 19. Schubert, l. c.: Die trilineare Beziehung zwischen 3 einstufigen Grundgebilden, Math. Ann. Bd. XVII, p. 458ff. Bei Herrn Le Paige findet sich eine ausführliche analytische Behandlung der singulären Elemente.
Diese Ausartung des Tripelfeldes wurde zuerst von Herrn Schubert, Math. Ann. Bd. XVII, p. 470, behandelt, Eine ausführliche analytische Behandlung findet sich bei Herrn Le Paige, l. c., Essais de géométrie supérieure du troisième ordre. Mém. de la soc. roy. de Liège II Sér. Tome X. 1883. sowie in der Arbeit der Herren Folie und Le Paige: Sur les courbes de III ordre, Mémoires de l'académie royale de Belgique 1882. Auch die übrigen Ausartungen des Tripelfeldes sind in den citirten Arbeiten behandelt, weshalb wir hier nur auf diese verweisen.
l. c. Herrn Schubert, Math. Ann. Bd. XVII, p. 458.
August: Disquisitiones de superfic. II ordinis; Inaug.-Diss. Berlin 1862.
cf. Emil Weyr: Theorie der mehrdeutigen Elementargebilde, Leipzig 1869, p. 51 ff., p. 74.
cf. H. I. St. Smith: Mémoire sur quelques problèmes cubiques et biquadr. Annali di math. Ser. III, Tom. II.
cf. E. Weyr, a. a. O. Theorie der mehrdeutigen Elementargebilde, Leipzig 1869, p. 51 ff., p. 74.
cf. Le Paige: Essais sur la géometrie de troisième ordre, l. c. p. 17.
cf. Schubert, a. a. O. Die trilineare Beziehung zwischen 3 einstufigen Grund-gebilden, Math. Ann. Bd. XVII
cf. Sturm: Das Problem der Projectivität, Math. Ann. Bd. II, p. 535.
Die Auffindung der beiden gemeinsamen Paare zweier Projectivitäten lässt sich leicht auf bekannte Constructionen zurückführen. Sind z. B. die Strahlen der beiden StrahlenbüschelR, S in zweifacher Weise projectivisch bezogen, durch die ProjectivitätenP undP′, so bilden die Schnittpunkte je zweier Strahlen, die sich in Bezug aufP entsprechen, einen KegelschnittK, und ebenso die Schnittpunkte der in Bezug aufP′ entsprechenden Strahlen ein KegelschnittK′;K undK′ gehen beide durchR undS und schneiden sich in noch zwei weiteren PunktenT,U, welche mitR undS verbunden die gesuchten gemeinsamen PaareRT,ST undRU,SU vonP undP′ liefern. Die Construction vonT undU geschieht mittels Zirkel und Lineal (cf. Steiner: Ges. Werke Bd. I, p. 517). IstT bekannt, so findet manU linear.
Vgl. Le Paige: Note sur l'homographie du troisième ordre; Bull. de l'acad. roy. de Belgique 3me Ser. Tom. V 1883. wo die betr. Construction mit Hilfe von Constructionen der Fläche II. O. geleistet wird, während es uns darauf ankam, die Construction mit den einfachsten Mitteln aufzubauen, um sie dann ihrerseits zur Construction der Flächen II. und III. Ordnung zu verwenden.
Vgl. Hauck: Die trilineare Beziehung zwischen 3 einstufigen Grundgebilden; Cr. Journ. Bd. 108, p. 25.
cf. Schubert, l. c. Die trilineare Beziehung zwischen 3 einstufigen Grund-gebilden, Math. Ann. Bd. XVII, p. 466.
cf. Salmon-Fiedler: Analyt. Geometrie des Raumes II. Bd. p. 402 3te Aufl.
cf. Salmon: Cambridge and Dublin Math. Journ. IV, p. 256; sowie Cayley: Phil. Transact. 1869.
cf. Salmon-Fiedler: Analyt. Geometrie des Raumes, III. Aufl. II. Bd., p. 365.
cf. E. Weyr: Geometrie der räumlichen Erzeugnisse ein-zwei-deutiger Gebilde, insbesondere der Regelflächen III. O. Leipzig 1870.
Herr Le Paige hat in seinen Arbeiten über die Homographie III. O. mehrfach diese Erzeugung verwendet, cf. unter Anderem Bulletin de l'académie de Belgique III. Ser. Tom. 5. 1883.
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London, F. Zur Theorie der trilinearen Verwandtschaft dreier einstufiger Grundgebilde. Math. Ann. 44, 375–412 (1894). https://doi.org/10.1007/BF01446415
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