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Mathematische Annalen

, Volume 48, Issue 1–2, pp 142–194 | Cite as

Ueber ebene einfache Fachwerke

  • Friedrich Schur
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Literatur

  1. a. a. O. S. 568–596, wo man sich auch bezüglich der Litteratur über dieses Gebiet vollständig informiren kann.Google Scholar
  2. Henneberg, Statik der starren Systeme S. 228 ff. Darmstadt 1886 und a. a. O. Henneberg, Statik der starren Systeme S. 228 ff. Darmstadt 1886 S. 586 ff.Google Scholar
  3. Müller-Breslau, Beitrag zur Theorie des ebenen Fachwerks, Schweizer Bauzeitung 1887, S. 121, sowie Müller-Breslau, die graphische Statik der Bauconstructionen, II. Aufl. Bd. I, S. 206. Leipzig 1887.Google Scholar
  4. Man vergleiche hierzu besonders die folgende Schrift: Les figures réciproques en statique graphique par Luigi Cremona, ouvrage précédé d'une introduction de G. Jung et suivi d'un appendice extrait des Mémoires et des cours du statique graphique de Saviotti. Traduit par L. Bossut. Paris 1885. In dieser Schrift findet man weiteres litterarisches Material zur Theorie des Fachwerks, besonders das Wesentliche dessen, was über Kräftepläne veröffentlicht wurde.Google Scholar
  5. a. a. O. Traduit par L. Bossut. S. 28–53, Paris 1874.Google Scholar
  6. Petersen, Lehrbuch der Statik fester Körper, S. 151 ff. Kopenhagen 1882. S. auch die Anmerkungen auf S. 173, 180, und 182.Google Scholar
  7. Grübler, Beitrag zur Theorie des ebenen einfachen Fachwerks, Rigaische Industrie-Zeitung 1887. Nr. 4 u. 5, II. S. auch, die Anmerkungen auf S. 169 u. 181.Google Scholar
  8. Grübler, Beitrag zur Theorie des ebenen einfachen Fachwerks, Rigaische Industrie-Zeitung 1887. Nr. 4. u. 5, l. c. Appendice par Saviotti p. 65–69.Google Scholar
  9. Man vergl. hierzu die Schrift des Verfassers: Ueber die reciproken Figuren der graphischen Statik, Zeitschrift für Math. u. Physik. 40. Jahrg. 1895, S. 52.Google Scholar
  10. Vgl. Müller-Breslau, Graphische Statik u. s. w. S. 203, auch Burmester, Lehrbuch der Kinematik, S. 23, Leipzig 1888.Google Scholar
  11. Diesem Satze kommt am nächsten Müller-Breslau. Man vergl. den o. a. Bericht von Henneberg, Statik der starren Systeme S. 596.Google Scholar
  12. Hierzu vergl. man z. B. Müller-Breslau, Graphische Statik u. s. w. S. 203, auch Burmester, Lehrbuch der Kinematik, S. 23, Leipzig 1888, a. a. O. S. 208 ff.Google Scholar
  13. Wegen der letzten Ausnahme des Satzes vergl. man den o. a. Bericht Hennebergs Statik der starren Systeme S. 582.Google Scholar
  14. S. Henneberg, Statik der starren Systeme, a. a. O. S. 213.Google Scholar
  15. Vergl. Grübler, Beitrag zur Theorie des ebenen einfachen Fachwerks, Rigaische Industrie-Zeitung 1887. Nr. 4. u. 5, a. a. O. I.Google Scholar
  16. Henneberg, Statik der starren Systeme, S. 219.Google Scholar
  17. Grübler Die momentane Bewegung dreier starrer Geraden mit gemeinschaftlichen Punkten in einer Ebene. Zeitschr. für Math. u. Phys. 35. Jahrg. S. 247.Google Scholar
  18. Vergl. Graphische Statik u. s. w. S. 203, auch Burmester, Lehrbuch der Kinematik, S. 23, Leipzig 1888. Fig. 201, S. 212 des a. Werkes von Müller-Breslau.Google Scholar
  19. Jede (ina α wirkende) KraftK α−1 K α ist nämlich zerlegt in die beiden inS α−1 S α undS α S α+1 wirkenden ComponentenK α−1 C undCK α, sodass nur die in der ersten und letzten Seite des Seilpolygons wirkenden Kräfte, übrig bleiben, welche sich also ebenfalls aufheben müssen. Man vergl. z. B. Müller, Breslau, Graphische Statik u. s. w. S. 203, auch Burmester, Lehrbuch der Kinematik, S. 23, Leipzig 1888. a. a. O. S. 7 u. 8.Google Scholar
  20. Vgl. Henneberg, Statik der starren Systeme, a. a. O. S. 230.Google Scholar
  21. S. Föppl, Theorie des Fachwerks, S. 23 ff. Leipzig 1880, und Henneberg Statik der starren Systeme, a. a. O. S. 233.Google Scholar
  22. Es beruht das auf dem bekannten Satze der graphischen Statik, dass die Schnittpunkte gleichvielter Seiten zweier Seilpolygone, die zu demselben Systeme von Kräften, aber zu verschiedenen Polen gehören, auf einer zur Verbindungslinie dieser Pole parallelen Geraden liegen. Man vergl. z. B. Müller-Breslau Graphische Statik u. s. w. S. 203, auch Burmester, Lehrbuch der Kinematik, S. 23, Leipzig 1888. a. a. O. S. 9.Google Scholar
  23. Culmann, Die graphische Statik 1. Aufl., S. 363, Zürich 1866.Google Scholar
  24. S. das Citat auf S. 142.Google Scholar
  25. Ritter, Elementare Theorie und Berechnung eiserner Dach- und Brücken-Constructionen. Hannover 1863.Google Scholar
  26. Vergl. Ritter, Elementare Theorie und Berechnung eiserner Dach- und Brücken-Constructionen. Hannover 1863. S. 159 o.Google Scholar
  27. Man vergl. hiermit die Behauptung von Grübler auf S. 4 der o. a. Schrift: Ueber die reciproken Figuren der graphischen Statik, Zeitschrift für Math. u. Physik, 40. Jahrg. 1895, S. 52. „dass die Anzahl ν der von den Stäben gebildeten Polygone, falls jeder Stab nur zweien derselben angehören soll, nur die beiden Werthe s−(k−1) und s−(k−1)+1 haben kann,” welcher die Zerlegung des mehrfach benutzten Fachwerks mit sechs Knotenpunkten (Fig. 1) in diedrei SechseckeP 1 P 2 P 3 P 6 P 5 P 4 (P 1),P 2 P 3 P 4 P 1 P 6 P 5 (P 2) undP 3 P 4 P 5 P 2 P 1 P 6 (P 3) offenbar widerspricht. (Diese Zerlegung hat mir Friedrich Schilling mitgetheilt). Es wird hiernach überflüssig sein, die Unzulänglichkeit des Grübler'schen Beweises darzuthun, die eben in der ganzen Methode liegt. Die analytische Beweisführung kann hier ūberhaupt nur auf solche Fachwerke angewendet werden, für welche die Richtungen der Stäbe unabhängig von einander sind, während die betreffenden Sätze rein topologischer Natur sind und nur von den Zahlens undk abhängen. Es mag schliesslich noch bemerkt werden, dass die obigen scharfen Begriffsbestimmungen bei Grübler ganz fehlen. Ohne diese lässt sich aber nichts beweisen. So kann man z. B., wenn der Zusammenhang der Zerlegung aufgegeben wird, auch Fachwerke construiren, für die es eine vollständige Zerlegung in mehr alssk+2 Polygone giebt.Google Scholar
  28. S. Petersen, Lehrbuch der Statik fester Körper, S. 151. ff. Kopenhagen 1882. a. a. O. S. 156. Was die weiteren Sätze von Petersen betrifft, so halten wir dieselben theils für praktisch unbrauchbar zur Entscheidung über die Existenz eines Kräfteplanes, theils haben wir uns nach den kurzen Andentungen, die von ihren Beweisen gegeben sind, nicht überzeugen können, dass Petersen wirklich im Besitze strenger Beweise dieser Sätze gewesen ist. Einige Sätze verlieren z. B. ihre Gültigkeit, wenn man den Zusammenhang der Zerlegung aufgiebt, während ein diesbezüglicher Vorbehalt nirgends gemacht wurde.Google Scholar
  29. Vgl. die Anm. auf S. 144. Auch bei Petersen Lehrbuch der Statik fester Körper, S. 151 ff. Kopenhagen 1882. a. a. O. S. 165 findet sich eine in dieser Richtung liegende Andeutung. Wie weit aber Petersen von der Erkenntniss der Natur des allgemeinen Problems entfernt war, geht aus seiner Behauptung auf S. 163 hervor, dass die hier zu lösende Constructionsaufgabe „sich nicht immer mittels Zirkel und Lineal lösen lasse”.Google Scholar
  30. Es ist dies der richtige von Grübler, Die momentane Bewegung dreier starrer Geraden mit gemeinschaftlichen Punkten in einer Ebene. Zeitschr. für Math. u. Phys. 35. Jahrg. a. a. O. S. 5 aufgestellte Satz, während z. B. der folgende Satz auf derselben Seite nach unserer Anmerkung auf S. 169 wieder falsch ist.Google Scholar
  31. Vergl. Petersen, Lehrbuch der Statik fester Körper, S. 151 ff Kopenhagen 1882. a. a. O. S. 161. Was die Umkehrung des Satzes, also Satz 19 betrifft, so finden sich auch darauf hinzielende Bemerkungen bei Petersen; wir können derselben aber keinerlei Beweiskraft zuerkennen.Google Scholar
  32. S. l. c. Lehrbuch der Statik fester Körper, S. 151 ff. Kopenhagen 1882. Appendice par Saviotti p. 63.Google Scholar
  33. Es handelt sich hier um eine Verallgemeinerung der sogenannten Hamilton'schen Rundreise-Aufgabe; man vergl. Schubert, Zwölf Geduldspiele, S. 148, Berlin 1895.Google Scholar
  34. Man vergl. hierzu eine Bemerkung von Maxwell, Scientific papers ed. Niven, Vol. II, p. 492, wo M. diese Art der Bezeichnung Bow zuschreibt. Der Verf. ist hierauf durch die Güte des Herrn A. Föppl hingewiesen worden.Google Scholar
  35. Vergl. die in der Einleitung S. 143 citirte Schrift, wo man sich auch über das Nullsystem informiren kann. Man vergl. auch die auf S. 144 ang. Schrift des Verfassers.Google Scholar
  36. Man vergl. z. B. Möbius, ges. Werke, II, S. 551, Leipzig 1886.Google Scholar

Copyright information

© Springer-Verlag 1896

Authors and Affiliations

  • Friedrich Schur
    • 1
  1. 1.Aachen

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