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Literatur
Voss, Ueber die cogredienten Transformationen einer bilinearen Form in sich selbst. Abhandlungen der k. bayer. Akademie der Wiss. II. CI. XVII. Bd. II. Abth. 1890. Diese Arbeit werde ich mit V. citiren.
Frobenius, Ueber lineare Substitutionen und bilineare Formen. Journ. f. d. r. u. ang. Math. Bd. 84. Diese Arbeit werde ich mit F. citiren.
F. Ueber lineare Substitutionen und bilineare Formen. Journ. f. d. r. u. ang. Math. Bd. 84. p. 1ff. sowie V, § 1.
V. Ueber die cogredienten Transformationen einer bilinearen Form in sich selbst. Abhandlungen der k. bayer. Akademie der Wiss. II. CI. XVII. Bd. II. Abth. 1890. p. 71–73.
Vgl. die Voss'sche Bergriffsbestimmung “eigentlich singulär”. V. Ueber die cogredienten Transformationen einer bilinearen Form in sich selbst. Abhandlungen der k. bayer. Akademie der Wiss. II. CI. XVII. Bd. II. Abth. 1890. p. 77.
F. Ueber lineare Substitutionen und bilineare Formen. Journ. f. d. r. u. ang. Math. Bd. 84. p. 46.
F. Ueber die cogredienten Transformationen einer bilinearen Form in sich selbst. Abhandlungen der k. bayer. Akademie der Wiss. II. CI. XVII. Bd. II. Abth. 1890. p. 144.
Durch die Freundlichkeit von Herrn Klein wurde mir die in diesen Annalen erscheinende Arbeit des Herrn Taber “On the automorphic linear transformation of an alternate bilinear form” übermittelt; ich hatte damals die vorliegende Arbeit bereits in allen wesentlichen Punkten fertig gestellt. In der Taber'schen Arbeit wird der von uns hier ausgesprochene Satz für reelle Substitutionen, welche eine reelle alternirende Form in sich transformiren, hergeleitet. Herrn Taber's Untersuchungen, die auf elegantem rechnendem Wege geführt werden, bestätigen also in diesem Specialfall unsere Resultate. Im Falle der alternirenden Formen, die nur eigentliche Transformationen gestatten, kann man ε=+1 setzen. Nach Herrn Voss kann man (E−T 1 S)(E+T 1 S)−1 stets in die Form (S+R)−1 (S−R) überführen. [V. p. 71.] IstS eine alternirende Form, so istR nur gezwungen, symmetrisch zu sein; dann brauchen wir keine Bedingungsgleichung: (S′)−1.R′+S −1 R=0. Nun stimmt unsere Formel bis auf die Bezeichnungsweise völlig mit der von Taber p. 575 gegebenen überein, und man ersieht aus unseren Betrachtungen, dass die Formel auch gültig bleibt, wenn die Substitutionen und die Form aufhören reell zu sein. [Die Taber'sche Arbeit ist inzwischen in diesen Annalen, Bd. 46, Heft 4, erschienen].
Eine alternirende Form von nicht verschwindender Determinante lässt nie uneigentliche Transformationen zu. Vgl. Frobenius, Ueber die schiefe Invariante etc. Journ. f. d. r. u. a. Math. Bd. 86, p. 50.
F. Ueber lineare Substitutionen und bilineare Formen. Journ. f. d. r. u. ang. Math. Bd. 84. p. 34.
F. Ueber lineare Substitutionen und bilineare Formen. Journ. f. d. r. u. ang. Math. Bd. 84. p. 25 oder F. Ueber lineare Substitutionen und bilineare Formen. Journ. f. d. r. u. ang. Math. Bd. 84. p. 40, Anmerkung.
F. Ueber lineare Substitutionen und bilineare Forman. Journ. f. d. r. u. ang. Math. Bd. 84. p. 34.
F. Ueber lineare Substitutionen und bilineare Formen. Journ. f. d. r. u. ang. Math. Bd. 84. p. 21.
WennS eine symmetrische Form ist, kann man die Voss'sche Darstellung leicht in die obige umsetzen; an Stelle der BedingungsgleichungTS+T′S′=0 tritt dann nur die Bestimmung, dassT alternirend ist. Vgl. V. Ueber die cogredienten Transformationen einer bilinearen Form in sich selbst. Abhandlungen der k. bayer. Akademie der Wiss. II. CI. XVII. Bd. II. Abth. 1890. p. 71 und F. Ueber die cogredienten Transformationen einer bilinearen Form in sich selbst. Abhandlungen der k. bayer. Akademie der Wiss. II. CI. XVII. Bd. II. Abth. 1890. p. 37.
F. Ueber lineare Substitutionen und bilineare Formen. Journ. f. d. r. u. ang. Math. Bd. 84. p. 58.
F. Ueber lineare Substitutionen und bilineare Formen. Journ. f. d. r. u. ang. Math. Bd. 84. p. 41.
Nothwendige Bedingungen, dass eine singuläre orthogonale Substitution als Quadrat darstellbar sei, hat auch Herr Taber in seiner Arbeit: “On orthogonal substitutions that can be expressed as a function of a single alternate linear substitution” gegeben. American Journ. of Math. Vol. XVI, p. 130. Die Substitution (E+T)−1 (E−T) ist mit den berühmten Cayley'schen Formeln identisch. Journ. f. d. r. u. a. Math. Bd. 32. Nachdem ich die vorliegende Arbeit bereits der Redaction der Annalen übergeben hatte, erschien in den Proceedings of the London mathematical society p. 364 ff. eine weitere Arbeit von Herrn Taber. In dieser wird gezeigt, dass die für orthogonale Substitutionen von ihm als nothwedig angegebenen Bedingungen auch hinreichend für die Quadratdarstellung sind. Die von ihm als nothwendig und hinreichend aufgestellten Criterien (p. 374) sind von den unsrigen verschieden, da er nicht Elementartheiler, sondern aus dem Sylvester'schen Begriff “nullity” abgeleitete Zahlen benützt.
V. Ueber die cogredienten Transformationen einer bilinearen Form in sich selbst. Abhandlungen der k. bayer. Akademie der Wiss. II. CI. XVII. Bd. II. Abth. 1890. p. 37.
F. Ueber lineare Substitutionen und bilineare Formen. Journ. f. d. r. u. ang. Math. Bd. 84. p. 16 oder Lipschitz, Acta Math. t. X.
F. Ueber lineare Substitutionen und bilineare Formen. Journ. f. d. r. u. ang. Math. Bd. 84. p. 31. Vgl. auch Taber im American Journ. Bd. XVI, p. 123.
F. Ueber lineare Substitutionen und bilineare Formen. Journ. f. d. r. u. ang. Math. Bd. 84. p. 48.
Math. Annalen Bd. 35. Vergl. auch Lie's Theorie der Transformationsgruppen III, p. 809. Die dortigen Formeln sind nur unhomogen; unseremn entspricht dortn−1.
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Loewy, A. Zur Theorie der linearen Substitutionen. Math. Ann. 48, 97–110 (1896). https://doi.org/10.1007/BF01446338
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DOI: https://doi.org/10.1007/BF01446338