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Mathematische Annalen

, Volume 48, Issue 1–2, pp 97–110 | Cite as

Zur Theorie der linearen Substitutionen

  • Alfred Loewy
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Literatur

  1. Voss, Ueber die cogredienten Transformationen einer bilinearen Form in sich selbst. Abhandlungen der k. bayer. Akademie der Wiss. II. CI. XVII. Bd. II. Abth. 1890. Diese Arbeit werde ich mit V. citiren.Google Scholar
  2. Frobenius, Ueber lineare Substitutionen und bilineare Formen. Journ. f. d. r. u. ang. Math. Bd. 84. Diese Arbeit werde ich mit F. citiren.Google Scholar
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  4. V. Ueber die cogredienten Transformationen einer bilinearen Form in sich selbst. Abhandlungen der k. bayer. Akademie der Wiss. II. CI. XVII. Bd. II. Abth. 1890. p. 71–73.Google Scholar
  5. Vgl. die Voss'sche Bergriffsbestimmung “eigentlich singulär”. V. Ueber die cogredienten Transformationen einer bilinearen Form in sich selbst. Abhandlungen der k. bayer. Akademie der Wiss. II. CI. XVII. Bd. II. Abth. 1890. p. 77.Google Scholar
  6. F. Ueber lineare Substitutionen und bilineare Formen. Journ. f. d. r. u. ang. Math. Bd. 84. p. 46.Google Scholar
  7. F. Ueber die cogredienten Transformationen einer bilinearen Form in sich selbst. Abhandlungen der k. bayer. Akademie der Wiss. II. CI. XVII. Bd. II. Abth. 1890. p. 144.Google Scholar
  8. Durch die Freundlichkeit von Herrn Klein wurde mir die in diesen Annalen erscheinende Arbeit des Herrn Taber “On the automorphic linear transformation of an alternate bilinear form” übermittelt; ich hatte damals die vorliegende Arbeit bereits in allen wesentlichen Punkten fertig gestellt. In der Taber'schen Arbeit wird der von uns hier ausgesprochene Satz für reelle Substitutionen, welche eine reelle alternirende Form in sich transformiren, hergeleitet. Herrn Taber's Untersuchungen, die auf elegantem rechnendem Wege geführt werden, bestätigen also in diesem Specialfall unsere Resultate. Im Falle der alternirenden Formen, die nur eigentliche Transformationen gestatten, kann man ε=+1 setzen. Nach Herrn Voss kann man (ET 1 S)(E+T 1 S)−1 stets in die Form (S+R)−1 (SR) überführen. [V. p. 71.] IstS eine alternirende Form, so istR nur gezwungen, symmetrisch zu sein; dann brauchen wir keine Bedingungsgleichung: (S′)−1.R′+S −1 R=0. Nun stimmt unsere Formel bis auf die Bezeichnungsweise völlig mit der von Taber p. 575 gegebenen überein, und man ersieht aus unseren Betrachtungen, dass die Formel auch gültig bleibt, wenn die Substitutionen und die Form aufhören reell zu sein. [Die Taber'sche Arbeit ist inzwischen in diesen Annalen, Bd. 46, Heft 4, erschienen].Google Scholar
  9. Eine alternirende Form von nicht verschwindender Determinante lässt nie uneigentliche Transformationen zu. Vgl. Frobenius, Ueber die schiefe Invariante etc. Journ. f. d. r. u. a. Math. Bd. 86, p. 50.Google Scholar
  10. F. Ueber lineare Substitutionen und bilineare Formen. Journ. f. d. r. u. ang. Math. Bd. 84. p. 34.Google Scholar
  11. F. Ueber lineare Substitutionen und bilineare Formen. Journ. f. d. r. u. ang. Math. Bd. 84. p. 25 oder F. Ueber lineare Substitutionen und bilineare Formen. Journ. f. d. r. u. ang. Math. Bd. 84. p. 40, Anmerkung.Google Scholar
  12. F. Ueber lineare Substitutionen und bilineare Forman. Journ. f. d. r. u. ang. Math. Bd. 84. p. 34.Google Scholar
  13. F. Ueber lineare Substitutionen und bilineare Formen. Journ. f. d. r. u. ang. Math. Bd. 84. p. 21.Google Scholar
  14. WennS eine symmetrische Form ist, kann man die Voss'sche Darstellung leicht in die obige umsetzen; an Stelle der BedingungsgleichungTS+T′S′=0 tritt dann nur die Bestimmung, dassT alternirend ist. Vgl. V. Ueber die cogredienten Transformationen einer bilinearen Form in sich selbst. Abhandlungen der k. bayer. Akademie der Wiss. II. CI. XVII. Bd. II. Abth. 1890. p. 71 und F. Ueber die cogredienten Transformationen einer bilinearen Form in sich selbst. Abhandlungen der k. bayer. Akademie der Wiss. II. CI. XVII. Bd. II. Abth. 1890. p. 37.Google Scholar
  15. F. Ueber lineare Substitutionen und bilineare Formen. Journ. f. d. r. u. ang. Math. Bd. 84. p. 58.Google Scholar
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  17. Nothwendige Bedingungen, dass eine singuläre orthogonale Substitution als Quadrat darstellbar sei, hat auch Herr Taber in seiner Arbeit: “On orthogonal substitutions that can be expressed as a function of a single alternate linear substitution” gegeben. American Journ. of Math. Vol. XVI, p. 130. Die Substitution (E+T)−1 (ET) ist mit den berühmten Cayley'schen Formeln identisch. Journ. f. d. r. u. a. Math. Bd. 32. Nachdem ich die vorliegende Arbeit bereits der Redaction der Annalen übergeben hatte, erschien in den Proceedings of the London mathematical society p. 364 ff. eine weitere Arbeit von Herrn Taber. In dieser wird gezeigt, dass die für orthogonale Substitutionen von ihm als nothwedig angegebenen Bedingungen auch hinreichend für die Quadratdarstellung sind. Die von ihm als nothwendig und hinreichend aufgestellten Criterien (p. 374) sind von den unsrigen verschieden, da er nicht Elementartheiler, sondern aus dem Sylvester'schen Begriff “nullity” abgeleitete Zahlen benützt.Google Scholar
  18. V. Ueber die cogredienten Transformationen einer bilinearen Form in sich selbst. Abhandlungen der k. bayer. Akademie der Wiss. II. CI. XVII. Bd. II. Abth. 1890. p. 37.Google Scholar
  19. F. Ueber lineare Substitutionen und bilineare Formen. Journ. f. d. r. u. ang. Math. Bd. 84. p. 16 oder Lipschitz, Acta Math. t. X.Google Scholar
  20. F. Ueber lineare Substitutionen und bilineare Formen. Journ. f. d. r. u. ang. Math. Bd. 84. p. 31. Vgl. auch Taber im American Journ. Bd. XVI, p. 123.Google Scholar
  21. F. Ueber lineare Substitutionen und bilineare Formen. Journ. f. d. r. u. ang. Math. Bd. 84. p. 48.Google Scholar
  22. Math. Annalen Bd. 35. Vergl. auch Lie's Theorie der Transformationsgruppen III, p. 809. Die dortigen Formeln sind nur unhomogen; unseremn entspricht dortn−1.Google Scholar

Copyright information

© Springer-Verlag 1896

Authors and Affiliations

  • Alfred Loewy
    • 1
  1. 1.Göttingen

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