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Mathematische Annalen

, Volume 48, Issue 1–2, pp 1–36 | Cite as

Ueber die hypergeometrische Function mit einem Nebenpunkt

Mit einer Figurentafel
  • E. Ritter
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Literatur

  1. Abhandlungen der Kgl. Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen 1857. Gesammelte Werke pag. 67.Google Scholar
  2. Man sehe Kleins, Vorlesung über die hypergeometrische Function. W. S. 1893/94, pag. 225.Google Scholar
  3. Gesammelte Werke pag. 323.Google Scholar
  4. Wegen der Bezeichnung vgl. meine Arbeit in Math. Ann. Bd. 44, 1894. Appell, Journal de Math. III, 9, Acta math. 13, 1890, spricht von “fonctions à multiplicateurs”.Google Scholar
  5. Doch wolle man beachten, dass die Werteα 1 undα 2 selbst für die beiden linear unabhängigen Zweige keineswegs dieselben zu sein brauchen, wenn nur ihr Verhältnis das nämliche ist. Wir können also sehr wohl für die Zusammensetzung aus den zweiten Zweigen noch einen beliebigen constanten Proportionalitätsfactor zuα 1 undα 2 hinzufügen; dies wird späterhin für uns noch wichtig sein. Vgl. die Anm. zu pag. 30.Google Scholar
  6. Wie überhaupt jeder Werth der Formel (17′) für beliebige Lage vonr bei Gültigkeit des oberen Vorzeichens in\( - \frac{\lambda }{\mu }\) übergeht. — Wir haben hier ein elementares Beispiel vor uns, wie die Abbildung einer mehrblättrigen ebenen Fläche vom Geschlechte 0 auf die schlichte Ebene bei geeigneter Normirung sich verhält, wenn ein Blatt durch Zusammenrücken zweiers Verzweigungspunkte sich abschnürt. Die Formel (17′) vermittelt ion der That im allgemeinen Falle die Abbildung der zweiblättrigenr-Ebene auf die schlichte\(\left( {\frac{{\alpha _2 }}{{\alpha _1 }}} \right)\). Wird dann das eine Blatt derr-Ebene beim Grenzübergang lim λ+μ+ν=0 abgeschnürt, so entsprechen eben vor Eintreten der Grenze selbst alle Punkte dieses Blattes der unmittelbaren Umgebung eines einzigen Punktes der\(\left( {\frac{{\alpha _2 }}{{\alpha _1 }}} \right)\), während das andere Blatt dem ganzen übrigen Theil der letzteren entspricht. Man vgl. den analogen Fall der Abbildung der Lemniscatenfläche, den ich in Schlömilch's Zeitscrift Bd. 40, pag. 370 (1895) behandelt habe.Google Scholar
  7. Diese Annhme ist nicht zutreffend; in dem fraglichen Grenzfalle braucht die Gruppe keineswegs dieselbe zu bleiben. (Vgl. die Anm. pag. 30). Dementsprechend haben auch die folgenden im Text gegebenen Entwicklungen Ritter's nur bedingte Gültigkeit. Schilling.Google Scholar
  8. Crelle's Journal, Bd. 75, 1873, pag. 292–335, Gesl. Abh. II, pag. 211–259 und 172–174.Google Scholar
  9. Vgl. pag. 12 dieser Arbeit, sowie Schilling, geometrische Theorie ders-Function mit complexen Exponenten II. Math. Ann. Bd. 46 pag. 536 f. (1895).Google Scholar
  10. Diesen Grenzübergang können wir leicht auch durch unsere Bereiche, das Abbild des QuotientenQ 1/Q 2, veranschaulichen. Würden wir in Fig. 4 oder 5 des Beispiels III der Tafel den Einschnitt einfach sich zusammenziehen, oder in Fig. 11 oder 12 in den Bereich hinein sich weiter fortsetzen lassen, so würden wir allerdings in der Grenze einen oder zwei unbrauchbare Winkelräume erhalten. Doch können wir, ausgehend etwa von Fig. 11 den Grenzübergang auch in der Weise vornehmen, dass wir an die Seitec 1 a 1 einen Parallelstreifen ansetzen, wie in nebenstehendere Figur angedentet ist. Derselbe mag dann breiter und breiter werden, bisc 1 an dieselbe Stelle wieb 1 gerücktist, d. h. wirzur Figur 15 gelangt sind. (Würde der Streifen noch breiter werden, so gelangen wir zur Figur 12 der Tafel, so dass dann der Nebenpunkts über den Doppelpunkt λ/μ gelangt ist, ohne dass in dem Bereich irgend welche Ausartung stattfirdet.) Wollen wir jetzt völlige Uebereinstimmung zwischen diesen soeben geschilderten geometrischen und analytischen Grenzübergängen herbeiführen, so brauchen wir einmal den geradlinig begrenzten Bereich nur so gezeichnet zu denken, dass der Punktb 1 in den Nullpunkt, der dem Nebenpunkts entsprechende Punkt in den Einheitspunkt fällt, andererseits dementsprechend die abbildende Function so festzulegen, dass sie fürz=a, b, s, wos=λ/μ−ɛ ist, entsprechend die Werthe ∞, 0, 1 annimmt. Dieser analytischen Normirung entspricht, dass wir anstattQ 1/Q 2 die lineare Verbindung αQ 1/Q 2+β/γQ 1/Q 2+δ wählen, wo α, β, γ, δ vom Parameter ɛ abhängige Constanten sind, die unserer Bedingung gemäss sofort zu bestimmen sind. Es ist wohl unnöthig, auch ihre ausgerechneten Werthe noch herzusetzen.Google Scholar
  11. “Ueber Riemann'sche Formenschaaren auf einem beliebigen algebraischen Gebilde”. (1896), p. 157–221.Google Scholar
  12. Math. Ann. Bd. 47, pag. 163.Google Scholar

Copyright information

© Springer-Verlag 1896

Authors and Affiliations

  • E. Ritter
    • 1
  1. 1.Göttingen

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