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References
Man vergl. Kummer, Ueber die Gauss'sche Reihe etc., Crelle's Journal Bd. 15, (1836); Riemann, Beiträge zur Theorie der durch die Gauss'sche ReiheF(α,β,γ,x) darstellbaren Transcendenten, Abh. d. Ges. d. Wiss. z. Göttingen, Bd. 7, (1857); Goursat, Sur l'équation différentielle linéaire, qui admet pour intégrale la série hypergéométrique, Ann. de l'Ecole Norm. Supplém. (1881), Sur les intégrales rationelles de l'équation de Kummer, Math. Ann. Bd. 24, (1884), Recherches sur l'équation de Kummer, Acta Soc. Scient. Fennicae, tom. XV, (1885).
Man vergl. die von Hrn. Schwarz, Cr. J. Bd. 75, gegebenen Kriterien für das Verschwinden des Coefficienten des logarithmischen Gliedes.
Diese Bezeichnung wurde von Hrn, Fuchs in die Theorie der linearen Differentialgleichungen eingeführt. Vergl. den Aufsatz: Zur Theorie der lineareu Differentialgleichungen mit veränderlichen Coefficienten, Crelle's Journal, Bd. 66, und Zusätze, Bd. 68.
Man vergl. F. Klein, Vorl. über d. lkosaeder u. d. Auflösung d. Gleichungen v. 5ten Grade, Leipzig 1884, p. 34.—Denkt man sich um den Punkts=0 ders-Ebene (ζ=0) eine Kugel (ξ2+η2+ζ2=1 beschrieben und dies-Ebene durch stereographische Projection aus dem Punkte (ξ=0, η=0, ζ=1) auf diese Kugel bezogen, so entspricht bei reellen Werthen dera, b, c, d der linearen Transformation (6) ders-Ebene eine Drehung der Kugel durch den Winkel φ um eine die Punkte (ζ, η, ζ) und (−ζ, −η, −ζ) verbindende Axe. —Man beachte, dass die zu (6) inverse Operation durch blosse Umkehrung des Zeichens von φ erhalten wird, sowie dass für die Zusammensetzung zweier Substitutionen zu einer neuen die Formeln gelten:\(\begin{gathered} a'' = (ad' + a'd) - (bc' - b'c), \hfill \\ b'' = (bd' + b'd) - (ca' - c'a), \hfill \\ c'' = (cd' + c'd) - (ab' - a'b), \hfill \\ d'' = - aa' - bb' - cc' + dd'. \hfill \\ \end{gathered} \)
Die Vermehrung oder Verminderung der Grössen, λ, μ, ν um Multipla von 2 lässt die Formeln (7), auf welche es hier ankommt, ungeändert; ihre Vorzeichen aber sind an sich beliebig.—Man vergl. zur Ergänzung des Textes die Angaben des Hrn. Schwarz. (Cr. J. Bd. 75).
Vgl. Thomsonu. Tait, Handb. d. theoret. Physik, Braunschweig 1871, I., p. 76.
Nicolaus Lobatschewsky, Geometr. Untersuchungen zur Theorie der Parallellinien, Berlin 1840.—∏(ν) bezeichnet den sogen. “Parallelwinkel” (d. h. den Winkel, welchen eine zur Linieg durch den PunktP zu ziehende Parallele mit dem vonP aufg gefällten Perpendikelv bilder) als Function der Grössev.
Goursat, Sur l'équation différ. linéaire etc. p. 100. f
In der That sind Lösungen des Diophantischen Systems bekannt, welche kein Integral der Kummer'schen Differentialgleichung liefern. Vergl. Goursat, Math. Ann. Bd. 24, p. 457.
Man vergl. Dyck, Gruppentheoretische Studien, I. Math. Ann. Bd. 20, Klein, Ueber die Transformation der elliptischen Functionen. Math. Ann. Bd. 14, Hurwitz, Grundlagen einer independenten Theorie der elliptischen Modulfuctionen. Math. Ann. Bd. 18.
Näheres findet man in der bereits citirten Abhandlung: Ueber die Transformation d. ellipt. Functionen, Math. Ann. Bd. 14, in welcher Herr Klein die zur Aufstellung der Modulargleichungen führenden Principien allgemein entwickelt, und speciell die Fällep=0 ausführlich behandelt hat.
Näheres findet man in der bereits citirten Abhandlung: Ueber die Transformation d. ellipt. Functionen, Math. Ann. Bd. 14, in welcher Herr Klein die zur Aufstellung der Modulargleichungen führenden Principien allgemein entwickelt, und speciell die Fällep=0 ausführlich behandelt hat.
S. Klein, a. a. O. welcher Herr Klein die zur Aufstellung der Modulargleichungen führenden Principien allgemein entwickelt, und speciell die Fällep=0 ausführlich behandelt hat. Math. Ann. Bd. 14.
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Papperitz, E. Untersuchungen über die algebraische Transformation der hypergeometrischen Functionen. Math. Ann. 27, 315–356 (1886). https://doi.org/10.1007/BF01445279
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DOI: https://doi.org/10.1007/BF01445279