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Literatur
Diese Benennung entnehme ich der Dissertation von Herrn von Schaper: „Über die Theorie der Hadamardschen Funktionen und ihre Anwendung auf das Problem der Primzahlen”, Göttingen, 1898, S. 58.
Vergl. die Anmerkung Herrn de la Vallée-Poussins am Schlusse der Arbeit Herrn von Mangoldts: „Über eine Anwendung der Riemannschen Formel für die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grenze”, Journal für die reine und angewandte Mathematik, Bd. 119, 1898, S. 70.
„Sur la distribution des zéros de la fonction ζ(s) et ses conséquences arithmétiques”, Bulletin de la société mathématique de France, Bd. 24, 1896, S. 199–220.
„Recherches analytiques sur la théorie des nombres premiers”, Annales de la société scientifique de Bruxelles, Bd. 20, Teil 2, S. 183–256.
„Étude sur les propriétés des fonctions entières et en particulier d'une fonction considérée par Riemann”, Journal de mathématiques pures et appliquées, Ser. 4, Bd. 9, 1893, S. 210–215.
Vergl. Riemann, „Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse”, Monatsberichte der Königlich Preußischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin, 1859, S. 671–672; Werke, 2. Aufl., 1892, S. 145.
Vergl. z. B. Jensen, „Sur la fonction ξ(d) de Riemann”, Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'académie des sciences, Paris, Bd. 104, 1887, S. 1156.
l. c.,, S. 220–242 und 395–397.
„Über eine Eigenschaft der Riemannschen ξ-Funktion”, Sitzungsberichte der Kaiserlichen Akademie der Wissenschaften in Wien, Bd. 107, Abth. 2a, 1898, S. 1431–1436.
„Über die zu einem algebraischen Zahlkörper gehörige Zetafunktion und die Ausdehnung der Tschebyschefschen Primzahlentheorie auf das Problem der Verteilung der Primideale”, Journal für die reine und angewandte Mathematik, Bd. 125, 1902, S. 98.
„Sur la fonction ξ(8) de Riemann et le nombre des nombres premiers inférieurs à une limite donnée”, Mémoires couronnés et autres mémoires publiés par l'academie royale de Belgique, Bd. 59, 1899, S. 37.
In dieser Form stellt Herr de la Vallée-Poussin in seiner Arbeit „Démonstration simplifiée du théorème de Dirichlet sur la progression arithmétique” (Mémoires couronnés et autres mémoires publiés par l'académie royale de Belgique, Bd. 53, 1896, S. 7) die ξ-Funktion für ℜ(s)>0 dar; vergl. auch seine „Recherches etc.”, S. 185.
Es hat für das Folgende kein Interesse, die in den Ungleichungen auftretenden Konstanten tunlichst klein bezw. groß zu wählen; wesentlich sind nur die Größenordnungen der auftretenden Vergleichsfunktionen. Daß für ℜ(8)=1 ξ(s) nicht stärker als von der Größenordnung logt unendlich werden kann, ist übrigens schon durch Herrn Mellin bekannt („Eine Formel für den Logarithmus transcendenter Funktionen von endlichem Geschlecht”, Acta societatis scientiarum Fennicae, Bd. 29, No. 4, 1900, S. 48–49).
Wie Herr Mertens („Ein Beitrag zur analytischen Zahlentheorie”, Journal für die reine und angewandte Mathematik, Bd. 78, 1874. S. 48) einfach bewiesen hat, ist stets ϑ(v)<2v.
„Sur la distribution etc.” S. 217–218.
l. c., „Sur la distribution etc.” S. 213, 216–217.
l. c., „Sur la distribution etc.” S. 213–216.
Vergl. v. Mangoldt, „Zu Riemanns Abhandlung über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse”, Journal für die reine und angewandte Mathematik, Bd. 114, 1895, S. 277–278.
„Sur la fonction etc.”, S. 63.
l. c., „Sur la fonction etc.” S. 5–6.
Vergl. meine auf S. 647, Anm. 3 zitierte Arbeit, S. 142.
Vergl. Hilbert, „Mathematische, Probleme”, Nachrichten der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, mathematisch-physikalische Klasse, 1900, S. 275–276 und Archiv der Mathematik und Physik, Ser. 3, Bd. 1, 1901 S. 215.
Vergl. z. B. die von ihm herausgegebenen Vorlesungen Dirichlets über Zahlentheorie, 4. Aufl., 1894, S. 610–611.
l. c., Vergl. z. B. die von ihm herausgegebenen Vorlesungen Dirichlets über Zahlentheorie, 4. Aufl., 1894, S. 81.
l. c., Vergl. z. B. die von ihm herausgegeben Vorlesungen Dirichlets über Zahlentheorie, 4. Aufl., 1894, S. 82.
l. c., Vergl. z. B. die von ihm herausgegeben Vorlesungen Dirichlets über Zahlentheorie, 4 Aufl., 1894, S. 96.
l. c., Vergl. z. B. die von ihm herausgegebenen Vorlesungen Dirichlets über, Zahlentheorie, 4. Aufl, 1894, S. 94.
l. c., Vergl. z. B. die von ihm herausgegebenen Vorlesungen Dirichlets über Zahlentheorie, 4. Aufl., 1894, S. 71 und 143.
l. c., Vergl. z. B. die von ihm herausgegebenen Vorlesungen Dirichlets über Zahlentheorie, 4. Aufl., 1894. S. 122
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Landau, E. Neuer Beweis des Primzahlsatzes und Beweis des Primidealsatzes. Math. Ann. 56, 645–670 (1903). https://doi.org/10.1007/BF01444310
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DOI: https://doi.org/10.1007/BF01444310