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Literatur
Der vorliegende Aufsatz bildet eine theilweise Umarbeitung und Erweiterung der unter dem gleichen Titel in den Sitzungsberichten der Münchner Akademie vom 7. Mai 1892 enthaltenen Mittheilung.
“Sur une transcendante remarquable trouvée par M. Fredholm.” A. a. O. Der vorliegende Aufsatz bildet eine theilweise Umarbeitung und Erweiterung der unter dem gleichen Titel in den Sitzungsberichten der Münchner Akademie vom 7. Mai 1892 enthaltenen Mittheilung p. 279.
Es heisst a. a. O.: Autant que je sache,toutes les fonctions qui n'existent que dans un certain domaine du plan etqui ont été étudiées jusqu'ics, cessent d'exister, parce que les fonctions elles mêmes ouleurs dérivées deviennentdiscontiques sur la frontiére.
Math. Ann. Bd. XIX, p. 588.
Théorie des Fonctions. Chap. V. Art. 30 (Oeuvres complètes, T. IX, p. 65).–Leçons sur le Calcul des Fonctions. Leç. III. (Oeuvres compl. T. X, p. 72.)
a. a. O. Théorie des Fonctions. Chap. V. Art. 30 (Oeuvres complètes, T. IX, p. 152. Auch in den “Leçons sur le Calcul différentiel” vom Jahre 1826: p. 105, und den “Leçons sur le Calcul différentiel et intégral” von Cauchy-Moigno: T. I, p. 71.
z. B. Hermite, Cours d'Analyse, T.I, p. 203.–Serret-Harnack, Differential- und Integral-Rechnung, T. I, p. 152.–Houël, Calcul infinitésimal, T. I, p. 286.
Nur der Vollständigkeit halber möchte ich als eiuzig mir bekannte Ausnahme ein Buch mit dem viel versprechenden Titel: “Le Calcul infinitésimal fondé sur des Principes rationnels” von P. H. Fleury (Paris 1879) anführen. Was aber der Verfasser dort auf p. 234–236 vorbringt, enthält nur ein Körnchen Wahrheit, soweit er sich gegen die besondere Form des Cauchy'schenBeispiels wendet. Alles übrige sind theils nichtssagende, theils geradezu absurde Redensarten.
z. B. Hankel, der in seiner bekannten Abhandlung über die unendlich oft unstetigen Functionen (1870) gelegentlich noch ganz den Lagrange'schen Standpunkt vertritt: cf. Math. Ann. Bd. XX, p. 102.
In den Berichten der Bayer. Akad. d. Wiss. Desgl. Bd. XXI dieser Zeitschrift. p. 109 ff.
Dieser Umstand ist thatsächlich von manchen mathematischen Autoren völlig übersehen worden, indem sie die für die Existenz der Taylor'schen Reihe nothwendige Bedingung der “Endlichkeit sämmtlicher Ableitungen” dahin missverstanden, als müssef n (α) für jedes noch so grossen unter einer festen endlichen Grenze bleiben. Auf diesem Missverständnisse beruht z. B. eine völlig irrthümliche Bemerkung des Herrn Mansion über den Rest der Taylor'sche Reihe und speciell über das oben erwähnte Beispiel von Du Bois Reymond. (Note sur quelques principes fondamentaux d'analyse” Art. III.–Annales de la Société scientifique de Bruxelles, 1879.) Desgleichen ein unzulänglicher Beweis des Taylor'schen Satzes von F. König. (Nouvelles démonstration du théorème de Taylor. Nouv. Annales: 2de Série, T. XIII, p. 270.)
Dieser Einwand wird auch durch das Raisonnement des Herrn Hermite (Cours d'Analyse, T. I, p. 203) nicht entkräftet.
Vgl. die Fussnote zu dem eben citirten Satze, S. 181.
Oeuvres complètes, T. IX, p. 63.
Gerade in dieser Hinsicht enthält der oben erwähnte Versuch von Du Bois Reymond, durch Condensation eine Function der fraglichen Art herzustellen eine Beweislücke. Es wird nämlich eigentlich nur gezeigt, dass man eine Function bilden kann, welche die betreffende Singularität in einer beliebig grossenendlichen Anzahl (n) von Punkten eines gewissen Intervalles besitzt, und dass diese Function auch noch fürn=∞ einen bestimmten Sinn behält. Alsdann aber heisst es (a. a. O. p. 617): “Es wäre freilich noch direct zu zeigen, dass die (bei dem eben erwähnten Grenzübergange resultirende)Function F(x) nicht entwickelbar ist, doch wollen wir hier diese Rechnung nicht anstellen.”–Ich halte es für sehr zweifelhaft, ob sich das hier überhaupt auf dem Wegeblosser Rechnung erweisen lässt.
Sur les Fonctions à Espaces lacunaires. Bulletin des Sciences mathématiques, 1887. 2ième Série, T. XI, p. 109.
Wie ich nachträglich bemerkt habe, findet sich die erste dieser beiden Reihen mit der Beschränkung aufungerade ganzzahlige Werthe vona schon in einem Aufsatze des Herrn Lerch: “Ueber die Nichtdifferentiirbarkeit gewisser Functionen.” Journ. f. Math. Bd. 103, S. 136.
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Pringsheim, A. Zur Theorie der Taylor'schen Reihe und der analytischen Functionen mit beschränktem Existenzbereich. Math. Ann. 42, 153–184 (1893). https://doi.org/10.1007/BF01444177
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DOI: https://doi.org/10.1007/BF01444177