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References
Die BezeichnungJ ist von Herrn Klein in seiner Abhandlung: “Ueber die Transformation der elliptischen Functionen und die Anflösung der Gleichungen fünften Grades” (Math. Annalen, Band XIV, S. 111–172) eingeführt worden. Dabei ist\(J = \frac{{g_2 ^3 }}{{g_2 ^3 - 27g_2 ^3 }},\) wog 2 undg s die von Herrn Weierstrass benutzten Invarianten sind.
Die zahlreichen weiteren Arbeiten, welche Herr Klein und seine Schüler über Transformation der elliptischen Functionen veröffentlicht haben (vergl. insbesondere das Referat in Bd. 26 dieser Annalen, S. 455–464), kommen für diese Entwicklungen nicht unmittelbar in Betracht, insofern es sich in ihnen nur ganz beiläufig um die Aufstellung der zwischenJ und\(\bar J\) bestehenden Gleichung handelt. Immerhin besteht zwischen diesen Arbeiten und meiner Untersuchung eine Uebereinstimmung im Princip: hier wie dort handelt es sich darum, bei der Construction von Gleichungssystemen auch im Falle höheren Ranges den Anschluss an die Theorie der algebraischen Functionen zu bewahren, andererseits geeignete Irrationalitäten der eigeutlichen Theorie der elliptischen Functionen zu entnehmen. Vergl. insbesondere die Dissertation von Herrn Fricke (Leipzig 1886):Ueber Systeme elliptischer Modulfunctionen von niederer Stufenzahl.
Aus einer mündlichen Mittheilung des Herrn Weierstrass schliesse ich, dass er bei seinen eigenen, nicht veröffentlichten Untersuchungen über die Transformation der elliptischen Functionen vermuthlich denselben oder doch einen ähnlichen Ausdruck wie τ (u) benutzt. Nach den Bezeichnungen von Jacobobi (ges. Werke, Bd. 1, S. 501) wird\(\tau (u|\varpi ,\varpi ') = (\frac{\pi }{\varpi })^{\frac{1}{2}} \frac{1}{{Q(\varpi ,\varpi ')^3 }}\vartheta _1 \left( {\frac{u}{{2\varpi }},e^{\frac{{\tilde \omega '\pi i}}{{\tilde \omega }}} } \right).\)
Vergl. Felix Müller, de transformatione functionum ellipticarum. Berlin 1867.
Dieser Ausdruck ist schon in Gleichung (13) m. vor. Abh. erklärt worden.
Vergl. Journal für Mathematik, Bd. 87, S. 199–216, Bd. 88, S. 205–212 und Bd. 95, S. 218–231. Math. Annalen, Bd. 26, S. 369–454.
Dieser Paragraph enthält zum Theil Untersuchungen, welche in ähnlicher Weise schon von den Herren Dedekind (Journal für Mathematik, Bd. 83), Gierster und Hurwitz (Mathematische Annalen) und H. Weber (Acta mathematica, Bd. 6) ausgeführt sind.
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Kiepert, L. Ueber die Transformation der elliptischen Functionen bei zusammengesetztem Transformationsgrade. Math. Ann. 32, 1–135 (1888). https://doi.org/10.1007/BF01444132
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DOI: https://doi.org/10.1007/BF01444132