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References
Göttinger Nachrichten, Jahrg. 1892, p. 366.
Bei Gelegenheit dieser Bezeichnung sei folgende Bemerkung grundsätzlicher Art gestattet. In der allgemeinen Theorie des Hrn. Lie (vgl. z. B. Lie-Engel, Theorie der Transformationsgruppen, Bd. I (Leipzig 1888) p. 95) wird alsInvariante eine Function derVariabeln bezeichnet, welche von den Transformationen der betr. Gruppe in sich übergeführt wird. Die gewöhnlich im engeren Sinne als Invariantentheorie bezeichnete algebraische Disciplin unterwirft Formen mit allgemeinen Coefficienten den Transformationen der von ihr untersuchten Gruppe und versteht unter einerInvariante schlechthin eine invariante Function dieserCoefficienten, während sie solche Functionen derVariabeln allein alsidentische Covarianten, solche derVariabeln und der Coefficienten alsCovarianten schlechthin bezeichnet. Soweit handelt es sich nur um eine Verschiedenheit der Terminologie; aber darüber hinaus haben es die algebraischen Invariantentheoretiker bequem gefunden, die Variabeln selbst als Coefficienten neuer (linearer) Formen aufzufassen und dergestalt für ihr Gebiet die Theorie der Covarianten (einschliesslich der identischen) auf die der Invarianten (das Wort in ihrem Sinne genommen) zurückzuführen. Die Vortheile, welche diese Auffassungsweise namentlich für dieAussprache der Sätze gewährt, sollen nicht bestritten werden; aber dass diesen Vortheilen bei der „allgemeinen projectiven Gruppe” nicht grössere Nachtheile gegenüberstehen, beruht wesentlich auf der geringen Zahl der identischen Covarianten dieser Gruppe und es darf daraus nicht geschlossen werden, dass das gleiche auch bei anderen Gruppen stattfindet.Schliesslich ist doch der Begriff der identischen Covariante ein einfacherer und elementarerer als der der Invariante einer Form, und ich kann mich daher der namentlich von Hrn. Study (vgl. Methoden zur Theorie der ternären Formen (Leipzig 1889) p. 7 ff.) verfochtenen Auffassung nicht anschliessen, welche in dieser Zurückführung einen Fortschritt zu grösserer innerer Harmonie sieht und sie demgemäss immer vornehmen will. Für das hier behandelte Problem wäre sie sicher unzweckmässig.
Zuerst wohl bei Hrn. Helmholtz, Göttinger Nachrichten 1868, p. 200.
Gordan, dieser Ann. Bd. 5, p. 95; vgl. die ausführlichere Darstellung bei Study, ternäre Formen p. 60.
Vergleichende Betrachtungen über neuere geometrische Forschungen, (Erlangen 1872) p. 9.
Gordan-Kerschensteiner, Vorlesungen über Invariantentheorie Bd. II (1887) p. 155 Fussnote; Study, Methoden zur Theorie der ternären Formen (1889) p. 178 (das Hesse'sche Uebertragungsprincip betr.); Berichte der sächs. Gesellschaft der Wissenschaften 1890, p. 172f.; dieser Annalen Bd. 39, p. 557.
Lineale Ausdehnungslehre (1844, wiederabgedruckt Leipzig 1878). art. 28 ff. Später hat Grassmann den Terminus „äusseres Product” auf Producte von Grössen höherer Stufe eingeschränkt und das Product (21) als „combinatorisches” bezeichnet. (Ausdehnungslehre, Berlin 1862, art. 52ff.; art. 78ff.).
In Grassmann's Sprache würde das heissen: man geht von der Grösse zweiter Stufe zu ihrer Ergänzung in Bezug auf das Hauptgebiet (e 1,e 2,e 3) über. (Ausdehnungslehre von 1862, art. 86, 89).
Audebnungslehre von 1862. art. 137ff., insbes. 143.
Man vgl. etwa P. Kelland u. P. G. Tait, introduction to quaternions (2d ed. London 1882), art. 67, Glchg. 7.
Vgl. G. Dillner, dieser Aun. Bd. 11 p. 173 Gl. 17).
Aehnliche Verhältnisse bestehen übrigens auch für die Producte von Quaternionen selbst; vgl. Hölder, Göttinger Nachrichten, Jahrg. 1889 p. 34.
Vgl. z. B. Salmon's höhere Algebra, art. 130.
Vgl. z. B. Salmon art. 151 ff.
Leçons sur les coordonnées curvilignes (1859) p. 6.
Sindu, v, w Verrückungscomponenten, so sind λ, μ, ν die zugehörigen Drehungscomponenten (vgl. etwa Voigt, elementare Mechanik, § 26, Glchgen. 4"; § 36, Glchgen. 127").
Die Grössen (33), (34) treten z. B. in den Differentialgleichungen der Bewegung eines elastischen isotropen Mediums bezw. mit der einen und der andern Elasticitätsconstante multiplicirt auf (a. a. O. § 38, Glchgen. 161).
Specielle Grössen dieser Art treten z. B. bei der Untersuchung von Wirbelbewegungen in einer incompressibeln Flüssigkeit auf (a. a. O. § 32, Glchgen. 89, 90, 90′).
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Burkhardt, H. Ueber Functionen von Vectorgrössen, welche selbst wieder Vectorgrössen sind. Eine Anwendung invariantentheoretischer Methoden auf eine Frage der mathematischen Physik. Math. Ann. 43, 197–215 (1893). https://doi.org/10.1007/BF01443644
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DOI: https://doi.org/10.1007/BF01443644