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Mathematische Annalen

, Volume 187, Issue 1, pp 40–55 | Cite as

Über die Anwendung algebraischer Methoden in der Deformationstheorie komplexer Räume

  • Oswald Riemenschneider
Article

Abstract

Es handelt sich um einen Beweis der folgenden Sätze, die zuerst von Grauert angegeben wurden (Publ. Math. I.H.E.S. No. 5, 1960; vgl. dies Zbl.100, 80 (1963)):

Es seif:XY eine eigentliche holomorphe Abbildung komplexer Räume,
sei einef-platte kohärente analytische Garbe überX; es bezeichneX y die Faser vonf über einem PunktyY und
die analytische Einschränkung von
aufX y . Dann gilt: (I) Die Funktionend q (y)=dimℂH q (X y ,
sind halbstetig nach oben. (II) Ist für einq ∈ ℤ die Funktiond q (y) konstant undY reduziert, so ist dieq-te direkte Bildgarbe von
unterf lokal frei überY. (III) Die Euler-Poincaré-Charakteristikx(y)=∑(−1) q dimH q (X y ,
) ist lokal konstant überY. — Der Beweis benutzt systematisch den Begriff des „Steinschen Kompaktums“ (= kompakte semianalytische Menge mit Steinscher Umgebungsbasis). Mit Hilfe der von Frisch bewiesenen Tatsache, daß die Algebra der Schnitte in der Strukturgarbe eines komplexen Raumes über einem Steinschen Kompaktum noethersch ist (Invent. Math.4, 118–138 (1967); vgl. dies Zbl.167, 68 (1969)), gelingt es, die Grothendieckschen Methoden im algebraischen Fall (EGA III) auf die analytische Situation zu übertragen.

Literatur

  1. 1.
    Bourbaki, N.: Algèbre commutative. Paris: Hermann 1961.Google Scholar
  2. 2.
    Frisch, J.: Points de platitude d'un morphisme d'espaces analytiques. Invent. Math.4, 118–138 (1967).Google Scholar
  3. 3.
    Godement, R.: Topologie algébrique et théorie des faisceaux. Paris: Hermann 1964.Google Scholar
  4. 4.
    Grauert, H.: Ein Theorem der analytischen Garbentheorie und die Modulräume komplexer Strukturen. Publ. Math. I.H.E.S. No.5, 5–64 (1960).Google Scholar
  5. 5.
    —— On the number of moduli of complex structures, pp. 63–78; in: Contributions to function theory. Tata Institute of Fundamental Research, Bombay 1960.Google Scholar
  6. 6.
    Grothendieck, A.: Éléments de géometrie algébrique. Publ. Math. I.H.E.S No.11 (1961) et No.17 (1963).Google Scholar
  7. 7.
    Gunning, R. C., Rossi, H.: Analytic functions of several complex variables. Englewood Cliffs, N.J.: Prentice-Hall 1965.Google Scholar
  8. 8.
    Kiehl, R.: Note zu der Arbeit von J. Frisch: “Points de platitude d'un morphisme d'espaces analytiques”. Invent. Math.4, 139–141 (1967).Google Scholar
  9. 9.
    -- Analytische Familien affinoider Algebren. S.-B. Heidelberger Akad. Wiss. Math.-Natur. Kl., 25–49 (1968).Google Scholar

Copyright information

© Springer-Verlag 1970

Authors and Affiliations

  • Oswald Riemenschneider
    • 1
  1. 1.Mathematisches Institut der UniversitätGöttingen

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