Ein Kriterium für die periodischen Diagonalkettenbrüche

Zusammenfassung

Periodische DIagonalkettenbrüche weisen — über die bekannte, in ihrer Definition begründete, Grundeigenschaft hinaus — bemerkenswerte Regelmäßigkeiten auf. IN dieser Arbeit ist aufgezeigt, daß der NäherungsbruchA _v−1 /B _v−1 der quadratischen Irrationalzahl$\xi _0 = (P_0 + \sqrt D )$:Q ₀ (normiert,Q ₀>0 angenommen),dann und nur dann auch Näherungsbruch der Diagonal-kettenbruchentwicklung von ξ₀ ist, wenn der NennerQ _v in dem vollständigen Quotienten$(P_v + \sqrt D )$:Q _v von ξ₀ kleiner ist als$\sqrt D$ (Satz 4), ausgenommen höchstens den Fall, daß ν der Vorperiode oder der 1. Periode der regelmäßigen Kettenbruchentwicklung von ξ₀ angehört.

Ist speziell$\xi _0 = \sqrt D$ die Quadratwurzel aus einer natürlichen nichtquadratischen Zahl, so gilt die Regelmäßigkeit für alle ν≧1 (Satz 1). In Satz 4 ist näher erläutert, von welchem ν an die Formel im allgemeinen Fall notwendig gilt.

Das gegebene Kriterium erleichtert sowohl die Bestimmung der Diagonalkettenbruchentwicklung quadratischer Irrationalzahlen als auch die Lösung „diophantischer“ Ungleichungen, wie es auch weitere, über den Rahmen dieser Arbeit hinausgehende, theoretische Schlußfolgerungen ermöglicht, auf die wir in anderem Zusammenhang eingehen werden.