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References
G. Doetsch: Theorie und Anwendung der Laplace-Transformation. Berlin 1937, S. 321 ff.
Die Differentialgleichung im Intervall — ∞<t<+∞ findet sich unter der Voraussetzung, daß die StörungsfunktionF(t) die Bedingung\(\int\limits_{ - \infty }^{ + \infty } {|F(t)|dt< \infty }\) befriedigt, mit Fourier-Transformation behandelt inS. Bochner: Vorlesungen überFouriersche Integrale. Leipzig 1932, S. 100–101, jedoch nicht als Anfangs- oder Randwertproblem. Es handelt sich hier nur um die (wenn sie existiert, einzige) Lösung, die mit sämtlichen Ableitungen bis zurn-ten in (− ∞,+∞) absolut integrabel ist. (Siehe S. 84 die Definition von „Lösung“ und S. 83 von „differenzierbar“.)
B. van der Pol andH. Bremmer: Operational calculus based on the two-sided Laplace integral. Cambridge 1950.
S. Anm. 3), S. 153–154.
S. Anm. 3), S. 155–156.
S. Anm. 3), S. 154.
Im folgenden wird mit H B verwiesen aufG. Doetsch: Handbuch der Laplace-Transformation. I. Band: Theorie der Laplace-Transformation. Basel 1950.
Der Satz wird dort für reelless 0 ausgesprochen. Wegen der Ausdehnung auf komplexess 0 s. Anm. S. 88.
Vgl. Anm. 1), S. 325.
Der Begriff derGreenschen Funktion bei gewöhnlichen Differentialgleichungen wurde zuerst vonH. Burkhardt 1894 eingeführt, wieD. Hilbert: Grundzüge einer all-gemeinen Theorie der linearen Integralgleichungen, Leipzig und Berlin 1912, S. 40, erwähnt, wo für Differentialgleichungen zweiter Ordnung unter verschiedenen Randbedingungen dieGreenschen Funktionen aufgestellt werden. Für Gleichungen beliebiger Ordnung sieheM. Bôcher: Leçons sur les méthodes de Sturm. Paris 1917, S. 100.
Vgl. hierzu für dieGreensche Funktion im endlichen Intervall das in Anm. 12) zitierte Buch vonBôcher, S. 100–102.
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Doetsch, G. Die lineare Differentialgleichung im zweiseitig unendlichen Intervall unter Anfangs- und Randbedingungen. Math. Ann. 126, 307–324 (1953). https://doi.org/10.1007/BF01343165
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