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Mathematische Annalen

, Volume 126, Issue 1, pp 239–252 | Cite as

ZurGaloisschen Theorie der arithmetischen Körper

  • Wolfgang Krull
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References

  1. 1).
    Die Verzweigungsgruppe in derGaloisschen Theorie beliebiger arithmetischer Körper. Math. Ann.121, 446–466 (1950); in Zukunft mit G. Th zitiert. Die vorliegende Note bildet eine Ergänzung von G. Th., § 1. Wegen eines drucktechnischen Versehens wird im folgenden die Verzweigungsgruppe im Gegensatz zu G. Th. durch den Indexv (und nicht durchv) gekennzeichnet.Google Scholar
  2. 4).
    Zur Diskriminantentheorie vgl. etwa:W. Krull, Beiträge zur Arithmetik kommutativer Integritätsbereiche VI, Math. Zeitschr.45, 1–19 (1939); zitiert mitDiskr ... Daß 242-1 mit der Unverzweightheit von 242-2 über ℜ gleichwertig ist, folgt angesichts des Hauptsatzes der Diskriminantentheorie (Diskr. Satz 5, S. 11) sofort aus dem Umstand, daß ℜt über 242-3 den Gradn g hat, fallsn die Anzahl der über 242-4 liegenden Primideale 242-5 undg den reduzierten Grad von 242-6 über ℜ/242-7 bedeutet. (Man beachte, daß angesichts der gruppentheoretischen Definition 242-8 über 242-9 den Gradn haben muß sowie G. Th., Satz 2 a).Google Scholar
  3. 5).
    Zu den benutzten Tatsachen vgl.: Diskr. § 6 (Unverzweigtheit von\(\mathfrak{S}\) über\(\mathfrak{S}_z\) und von\(\mathfrak{S}_z\) über ℜ); Diskr. Satz 7, S. 13 (\(a\mathfrak{S} \cap \Re = a\) für jedes ℜ-Ideala); Diskr. Satz 9, S. 13 (Zerfallen von\(\mathfrak{p}\mathfrak{S}_z\)).Google Scholar
  4. 7).
    Die Theorie der primären Ringe wurde vonW. Krull entwickelt. [Algebraische Theorie der Ringe I u. II, Math. Annalen88, 80–122 (1923) bzw.91, 1–46 (1924).] Eine Neudarstellung der Theorie und eine Weiterführung entsprechend dem heute erreichten Standpunkt der Algebra verdankt manE. Snapper [Competely primary rings I–IV, Annals of Math.52, 666–693 (1950) bzw.53, 125–142 (1951) bzw.53, 207–234 bzw.55, 46–64 (1952)].Google Scholar
  5. 9).
    Vgl.:W. Krull, Dimensionstheorie in Stellenringen, J. reine u. angew. Math.179, 204–226 (1938), § 1, Satz 2.Google Scholar
  6. 10).
    Vgl. etwa die in G. Th., Anm. 1 zitierten Arbeiten.Google Scholar
  7. 11).
    W. Krull, Die Verzweigungsgruppe in derGaloisschen Theorie der arithmetischen Körper, Bd. 2, S. 295–299 (1949).Google Scholar
  8. 12).
    Vgl. z.B. R. Kochendörfer, Über treue irreduzible Darstellungen endlicher Gruppen, Math. Nachrichten, Bd. 1, 40–61 (1948), Abschn. II, Satz 6.Google Scholar
  9. 13).
    Zu den voll verzweigten Körpern vgl.:M. Deuring, Verzweigungstheorie bewerteter Körper, Math. Ann.105, 277–307 (1931). — Allerdings ist es auch bei ganz beliebigen Bewertungsringen möglich, in invarianter (also z. B. von der Auswahl spezieller Elemente unabhängiger) Weise Ketten von „höheren Verzweigungsgruppen“ 248-1=(E) einzuführen, derart, daß wie in der klassischenHilbertschen Theorie die Quotientengruppen 248-2 alle direkte Produkte von Gruppen der Ordnungp werden. Aber es kommen hier verschiedene Ketten in Betracht, von denen keine vor der anderen ausgezeichnet ist und die alle mit irgendeinem Mangel behaftet sind. Vor allem ist es nicht ohne weiteres zu sehen, ob die eingeführten Gruppen 248-3 im vollverzweigten Spezialfall stets in dieDeuringschen höheren Verzweigungsgruppen übergehen.Google Scholar
  10. 14).
    Vgl. Satz 1 der in 9) zitierten Arbeit.Google Scholar

Copyright information

© Springer-Verlag 1953

Authors and Affiliations

  • Wolfgang Krull
    • 1
  1. 1.Bonn

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