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Mathematische Annalen

, Volume 126, Issue 1, pp 149–176 | Cite as

Über Polynomabbildungen

  • Walter Habicht
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References

  1. 1).
    P. Alexandroff, H. Hopf: Topologie (Grundlehren, Bd. XLV), Kap. XII, § 3, Satz IIIa.Google Scholar
  2. 2).
    B. Eckmann: Systeme von Richtungsfeldern in Sphären und stetige Lösungen komplexer linearer Gleichungen. Comm. Math. Helv.15, 1–26 (1942).Google Scholar
  3. 3).
    Vgl. Fußnote 4).Google Scholar
  4. 4).
    On a decision method for elementary algebra and geometry. University of California press (1951), insb. supplementary notes 6, 7.Google Scholar
  5. 5).
    Vgl.B. L. v.d. Waerden: Moderne Algebra I (3. Aufl. 1950), § 71.Google Scholar
  6. 6).
    Vgl. etwa:F. Behrend: Über Systeme reeller algebraischer Gleichungen. Comp. Math. 7, § 2 (1939).Google Scholar
  7. 8).
    Vgl. die unter 7) angedeutete Konstruktion.Google Scholar
  8. 13).
    Vgl. etwa:B. L. v.d. Waerden: Moderne Algebra, I. Kap. IX, § 71, Satz 5.Google Scholar
  9. 14).
    Dies habe ich (in geometrischer Einkleidung) unter etwas allgemeineren Voraussetzungen in einer früheren Arbeit gezeigt:W. Habicht: Topologische Eigenschaften reeller algebraischer Mannigfaltigkeiten. Math. Ann.122, 181–204 (1950), § 3, Satz 5a (S. 192).Google Scholar
  10. 15).
    W. Habicht: Ein Existenzsatz über reelle definierte Polynome. Comm. Math. Helv.18, 331–348 (1945). Der Satz wurde dort ausgesprochen fürn-dimensionale Quaderq n imR n. Er überträgt sich aber offenbar sofort auf beliebige PolyederII imR N. Seither hatA. Tarski (A decision method for elementary algebra and geometry, University of California Press 1951, insbes. supplementary note 6) einen Satz bewiesen, aus dem sich der zitierte Satz als Spezialfall ergibt. Sei nämlich eine Punktmenge desR N, die durch endlich viele Gleichungen und Ungleichungen mit Koeffizienten aus Ω definiert ist, als algebraische Punktmenge (a. P.) bezeichnet, so gilt: die Projektion einera. P. desR N in einen linearen UnterraumR M (MN) ist wieder einea. P. Davon ausgehend kann man leicht zeigen, daß die Projektion einer beschränkten, abgeschlossenena. P. wieder beschränkt und abgeschlossen ist. Setzt man insbesondereM=1, so folgt bei geeigneter Wahl der a.P., daß ein Polynom auf einem Polyeder desR N−1 sein Maximum annimmt (Weierstrassscher Satz vom Maximum). Daraus folgt natürlich der oben zitierte Satz von der unteren Schranke.Google Scholar
  11. 16).
    Siehe a. a. O. 14), § 3, Satz 5a (S. 192) sowie § 5,5. (S. 199).Google Scholar
  12. 17).
    Satz S1:W. Habicht: Eine Verallgemeinerung desSturmschen Wurzelzählverfahrens. Comm. Math. Helv.21, 99–116, § 3 (1948). SatzS n (n ≧ 2):W. Habicht: Zur inhomogenen Eliminationstheorie. Comm. Math. Helv.21, 79–98, § 3 (1948). Der Buchstaben deute an, daß es sich bei SatzS n um dasn-dimensionale Analogon zum verallgemeinertenSturmschen SatzS 1 handelt.Google Scholar
  13. 18).
    Diese Formulierung von 111 gilt zwar nur für reell-abgeschlossene Körper (bei der Definition der rechten Seite wurde, genau wie bei der Indexdefinition der Satz vonBolzano-Kronecker, derBolzano-Weierstrass'sche Nullstellensatz stillschweigend benutzt); sie hat aber den Vorteil, daß sie sich dann auch gleich über eine ganze Strecke „integrieren“ läßt, wie dies ja beim klassischenSturmschen Satz auch geschieht. Man könnte natürlich für (111) auch eine Formulierung geben, die die reelle Abgeschlossenheit nicht benützt, da sich sowohlj (↔f, p, y) als auch die rechte Seite durch die Vorzeichen der Ableitungen der Kettenpolynome inp ausdrücken lassen.Google Scholar
  14. 19).
    Genauer: Die Abbildungenf undf* vonz sind homotop inS n+1—0 (S n+1 der Bildraum, 0 sein Ursprung).Google Scholar
  15. 21).
    Vgl. im folgenden:P. Alexandroff-H. Hopf: Topologie (Grundlehren XLV, 1935), Kap. XII (459–493).Google Scholar
  16. 22).
    Seifert-Threlfall: Lehrbuch der Topologie (1934), § 25, 26.Google Scholar

Copyright information

© Springer-Verlag 1953

Authors and Affiliations

  • Walter Habicht
    • 1
  1. 1.Heidelberg

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