Abstract
Consider the homogeneous linear differential equation
where the coefficients aj(z) are entire functions. Then every solution w(z)≢0 of this equation (*) is an entire function. In this paper we give the necessary and sufficient conditions that n-1 linearly independent entire functions satisfy a differential equation (*) of order n. Especially we prove the following theorem: Given k linearly independent entire functions g1(z), g2(z),..., gk(z). This functions are solutions of a differential equation (*) if and only if there exists an integer M<∞ such that for any linear combination g(z)=C1g1(z)+...+ckgk(z)≢O this number M is an upper bound for the multiplicity of the zeros of g(z). Then holds n≧k.
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Literatur
BOAS,R. P.: Entire Functions. New York: Academic Press 1954.
FRANK,G.: PICARDsche Ausnahmewerte bei Lösungen linearer Differentialgleichungen. manuscripta math. 2, 181–190 (1970).
FRANK,G. und NIKOLAUS,J.: Zum Umkehrproblem für lineare Differentialgleichungen mit Polynomen als Koeffizienten. Math. Ann. 189, 169–177 (1970).
GELFOND,A. O.: Differenzenrechnung. Berlin: Deutscher Verlag der Wissenschaften 1958.
HORN,J. und WITTICH,H.: Gewöhnliche Differentialgleichungen. Berlin: Walter de Gruyter & Co. 1960.
LAPIN,G. P.: Interpolation in the class of entire functions of finite order. (Russisch), IZV. Vyss. Učebn. zaved Mathematika, no 5 (12), 146–153 (1959).
NIKOLAUS,J.: Konstruktion linearer Differentialgleichungen mit gegebener Struktur des Lösungsraumes. Ann. Acad. Sci. Fennicae, Ser. A I, Nr. 451 (1969).
NIKOLAUS,J.: Über einige Probleme linearer Differentialgleichungen im Komplexen. Erscheint in Acta Acad. Abo., Ser. B.
POLYA-SZEGÖ: Aufgaben und Lehrsätze aus der Analysis. 2. Bd. 3. Aufl. Berlin-Heidelberg-New York: Springer 1964.
SCHLESINGER,L.: Handbuch der Theorie der linearen Differentialgleichungen. Leipzig: Teubner 1895.
WITTICH,H.: Über einen Satz von G. H. HALPHEN Math. Z. 101, 83–94 (1967).
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Frank, G. Über ganze Funktionen, die einer linearen Differentialgleichung genügen. Manuscripta Math 4, 225–253 (1971). https://doi.org/10.1007/BF01190278
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DOI: https://doi.org/10.1007/BF01190278