Einige aussagen über die reduktion kohärenter analytischer modulgarben

Abstract

Let (X,

) be a complex space and$\mathfrak{F}$ a coherent

-module. In analogy to the reduction

red one can define a reduction$\mathfrak{F}$ _red=$\mathfrak{F}$/$\mathfrak{F}$′, where$\mathfrak{F}$′ ⊂$\mathfrak{F}$ is the subsheaf of “nilvalent” elements of$\mathfrak{F}$. (Even if X is reduced, we may have$\mathfrak{F}$′ ≠ 0.) We prove that$\mathfrak{F}$′ is coherent. Therefore we can construct the sheaf$\mathfrak{F}$(²)=($\mathfrak{F}$′)′ of nilvalent elements with respect to$\mathfrak{F}$′. Iterating this process, we get a sequence ($\mathfrak{F}$ ⁽ⁿ⁾)n∈N of subsheaves of$\mathfrak{F}$. We show that on every compact subset of X the sheaves$\mathfrak{F}$(ⁿ) vanish for n sufficiently large (Satz 2).

Zusammenfassung

Ist

ein komplexer Raum und$\mathfrak{F}$ eine kohärente

-Modulgarbe auf X, so kann in Analogie zur Idealgarbe der nilpotenten Elemente in

eine

-Untermodulgarbe$\mathfrak{F}$′ von$\mathfrak{F}$ definiert werden, die Garbe der nilvalenten Elemente aus$\mathfrak{F}$. Wir beweisen in Satz 1, daβ diese Garbe$\mathfrak{F}$′ und damit natürlich auch die Quotientengarbe$\mathfrak{F}$ _red:=$\mathfrak{F}$/$\mathfrak{F}$′, die der Reduktion

, red entspricht, kohärente

-Modulgarben sind.

Ohne Rücksicht auf die Definition der Garbe$\mathfrak{F}$′ als nilvalenten Anteil der Garbe$\mathfrak{F}$ kann man erneut einen nilvalenten Anteil$\mathfrak{F}$″=($\mathfrak{F}$′)′ der Garbe$\mathfrak{F}$′ definieren. Durch Iteration dieses Verfahrens gelangt man zu einer Folge ($\mathfrak{F}$ ⁽ⁿ⁾)n∈N kohärenter

-Modlulgarben auf X, deren jede nilvalenter Anteil ihrer Vorgängerin ist und deren erste mit der gegebenen Garbe$\mathfrak{F}$ übereinstimmt. In Satz 2 wird nun gezeigt, daß diese Folge, die Reduktionsauflösung der Garbe$\mathfrak{F}$, auf jeder offenen, relativkompakten Teilmenge von X nach endlich vielen Gliedern abbricht.