Abstract
The capitulation kernel is the kernel of the natural extension homomorphism of the ideal class groups in a extension K|k of number fields. In this paper K is a non-cyclic Galois field of degree 6 over the rationals and k is its quadratic subfield. Two different methods of computing the capitulation kernel are discussed. Both depend on the relationship between capitulation and unit structure. The paper closes with two tables. They contain the capitulation kernel for all ramified extensions K|k having cubic discriminants between −20000 and 100000.
This is a preview of subscription content, log in via an institution to check access.
Similar content being viewed by others
Literatur
I.O. Angell. A table of complex cubic fields. Bull. London Math. Soc.5 (1973), 37–38
I.O. Angell. A Table of Totally Real Cubic Fields. Math. Comp.30 (1976), 184–187
H. Brunotte, J. Klingen und M. Steurich. Einige Bemerkungen zu Einheiten in reinen kubischen Körpern. Arch. Math.29 (1977), 154–157
R. Dedekind. Über den Zusammenhang zwischen der Theorie der Ideale und der Theorie der höheren Kongruenzen. Abh. Königl. Ges. Wiss. Göttingen23 (1878), 1–23=Gesammelte mathematische Werke, 1. Bd. Brauschweig: Vieweg, 1930. S. 202–230
M.-N. Gras. Classes et unités des extensions cycliques réelles de degré 4 de Q. Ann. Inst. Fourier, Grenoble,29, 1 (1979), 107–124
F. Halter-Koch. Einheiten und Divisorenklassen in Galois'schen algebraischen Zahlkörpern mit Diedergruppe der Ordnung 21 für eine ungerade Primzahl 1. Acta Arithm.33 (1977), 353–364
H. Hasse. Arithmetische Theorie der kubischen Zahlkörper auf klassenkörpertheoretischer Grundlage. Math. Z.31 (1930), 565–582=Mathematische Abhandlungen, Bd. 1. Berlin, New York: de Gruyter, 1975. S. 423–440
H. Hasse. Zahlentheorie. 3. Aufl. Berlin: Akademie-Verlag, 1969
F.-P. Heider und B. Schmithals. Zur Kapitulation der Idealklassen in unverzweigten primzyklischen Erweiterungen. J. reine angew. Math.336 (1982), 1–25
K. Iimura. On the Unit Groups of Certain Sextic Number Fields. Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg50 (1980), 32–39
H. Reichardt. Arithmetische Theorie der kubischen Körper als Radikalkörper. Monatsh. Math. Phys.40 (1933), 323–350
B. Schmithals. Zur Kapitulation der Idealklassen in zyklischen Zahlkörpererweiterungen und Einheitenstruktur in Diederkörpern vom Grad 21. Dissertation Dortmund 1982
B. Schmithals. Kapitulation der Idealklassen und Einheitenstruktur in Zahlkörpern. Erscheint in J. reine angew. Math
A. Scholz und O. Taussky. Die Hauptideale der kubischen Klassenkörper imaginär-quadratischer Zahlkörper: ihre rechnerische Bestimmung und ihr Einfluß auf den Klassenkörperturm. J. reine angew. Math.171 (1934), 19–41
B. Setzer. Units In Totally Complex S3 Fields. J. Number Theory10 (1978), 244–249
D. Shanks. New Types of Quadratic Fields Having Three Invariants Divisible by 3. J. Number Theory4 (1972), 537–556
D. Shanks. Review of I.O. Angell, Table of Complex Cubic Fields. Math. Comp.29 (1975), 661–665
D. Shanks and P. Weinberger. A quadratic field of prime discriminant requiring three generators for its class group, and related theory. Acta Arithm.21 (1972), 71–87
Author information
Authors and Affiliations
Rights and permissions
About this article
Cite this article
Schmithals, B. Zur Berechnung der Kapitulation in bikubischen Zahlkörpern. Manuscripta Math 52, 171–202 (1985). https://doi.org/10.1007/BF01171491
Received:
Issue Date:
DOI: https://doi.org/10.1007/BF01171491