Felice Casorati’s work on finite differences and its influence on Salvatore Pincherle

Abstract

This paper, which is mainly based on unpublished material, focuses on the scientific influence that Felice Casorati exerted on Salvatore Pincherle. This influence can be traced, in particular, in Casorati’s work on the finite-difference calculus as conceived and published between 1879 and 1880 when Pincherle was living in Pavia. Casorati’s work has an interesting back story related to his entry to the 1880 Grand Prix of the French Académie des Sciences that helps us in understanding Casorati’s personality. Moreover, the correspondence that Casorati exchanged with other mathematicians on his work reveals that some of the results contained in Casorati (Annali di Matematica pura ed applicata 10(S. II):10–45, 1880b) had been obtained—though in a narrower context—in an early paper by Christoffel. Finally, the letters between Casorati and Pincherle contain a short unpublished note by Pincherle on a paper by Jules Tannery (Ann Sci. l’École Norm Super 4(S. II):113–182, 1875). This note offers the first evidence of the influence of Casorati (Annali di Matematica pura ed applicata 10(S. II):10–45, 1880b) on Pincherle’s work on the finite-difference calculus.

Appendices

Appendix 1: Original letters concerning the 1880 Grand Prix des Mathématiques

Letter 1: Casorati to Bertrand

Pavia, 27 dicembre 1879

Caro ed illustre Amico

Un mio compaesano, discontinuo ma passionato cultore dei nostri studî, è riuscito a scoperte analitiche di grande momento, segnatamente efficaci nelle moderne ricerche basate sulla variabilità complessa. (...) Egli ha già potuto impossessarsi dei lavori [che sono] stati fatti in Germania, e vi ha subito introdotto belle ed importanti semplificazioni, così da avere la certezza di figurare con onore tra concorrenti anche fortunatissimi. Ma poiché i suoi concepimenti hanno un’importanza generale, e ripeto grande, e non subordinata al tema su citato, così egli, giustamente nell’interesse dei suoi studî e nel suo, non vorrebbe tenerli segreti sino alla fine del 1880. Però d’altra parte, egli vorrebbe comportarsi in modo da conseguire la grande soddisfazione di un premio dell’Accademia di Parigi, la quale vedrà con piacere uscire in luce le nuove idee per mezzo delle sue pubblicazioni.³⁵ Interessatissimo pel mio compaesano, pensai di ricorrere in segreta confidenza a voi per consiglio; fidente nell’interessamento che voi avete sempre altamente mostrato per i nostri studî, e nella benevolenza che avete sempre accordato a chi vi scrive. Io dunque chiedo non al Segretario Perpetuo, ma all’amico benevolo, come dovrebbe il mio compaesano comportarsi? Se stampasse anonime una parte delle cose sue, potrebbero essere ancora valutate in un manoscritto presentato al Concorso? [...]

Il vostro devotissimo

F. Casorati

della Università di Pavia

Letter 2: Casorati to Bertrand

Pavia, 28 genn. 80

Ch. mo Prof. (Bertrand)

(...) Questo silenzio, ch’io credo non meritato, ha già naturalmente prodotto il suo triste effetto, di scoraggiare chi forse meritava incoraggiamento, di dissuaderlo dal continuare in quelle applicazioni che aveva cominciato felicemente, con quell’ardore che guida sempre a qualche risultato non volgare.

Ho sempre creduto che, come la grande maggioranza delle persone colte guarda a Parigi con ammirazione ed affetto, come alla gran madre d’ogni progresso dell’umanità, così voi Parigini, e voi particolarmente membri dell’Istituto, dobbiate guardare con benevolo affetto tutti gli operai del progresso, più o meno distinti che sieno, giovani o no, purché onesti, purché sinceramente intenti al meglio dell’umanità.

Ma non aggiungerò altro, perché, rattristato come sono, vi riuscirei troppo molesto.

Obbl.$^\mathrm{{mo}}$ vostro

F. Casorati

dell’Università di Pavia

Letter 3: Bertrand to Casorati

Paris, 31 janvier 1880

Très cher monsieur

(...) Je ne puis malhereusement engagé à l’avance ni l’académie, ni la Commission, qui n’est pas même nommée et qui sera souveraine. Elle fera tout, j’en ai la convinction, pour courronner une mémoire importante et les questions du forme, celles même du publications antérieure, n’ont pas l’habitude du prévaloir sur le mérite du fond. Je peut vous citer l’example du Kummer qui a obtenu le prix proponi pour le théorème de Fermat, sans avoir concouru, son mémoir publié en langue allemande depuis plusieurs annés, et traduit en Francais depuis plus d’un an, a été jugé digne du prix et l’a obtenu au grand étonnement du l’auteur qui n’y songeait pas. Je conseillerai donc à votre ami d’imprimer en langue italienne les principaux résultats et d’envoyer un mémoire détaillé qui, j’en ai la convinction, sera lu et jugé avec le même empressement que si tout etait inédit. Le secret qui doit être gardé sur le nom de l’auteur, sera, il est vrai, violé: un juge formaliste pourrait y voir une difficulté et je n’ai pas le droit d’affirmer que cela n’arrivera pas, mais je ne pense pas, d’après mon habitudes et les ideés que je connais à mon Confrères, que cela soit à craindre.

Je ne veux pas vous cacher que le sujet a été proposé pour moi et que j’avais pensé en le rédigeant à la possibilité de récompenser les travaux de Mr. Laguerre sur les équations differentiélles lineaires et particulièrement sur les invariants. Mr. Laguerre lui même ignore d’ailleurs cette arrière pensée dont je n’ai pas fait part à mes Confrères, mais si lui vient l’idée de concourir, il sera, vous le voyer, dans le même cas que votre ami. (...)

J. Bertrand

Letter 4: Casorati to Bertrand

Pavia, 6 febbraio 1880

Carissimo Signore (Bertrand)

(...) Ora vi faccio una confessione. Il mio compaesano è quegli stesso che vi scrive. Ma venendo ormai all’argomento, vi dirò, che, ritornato con lena agli studî dopo un lungo soggiorno sulle Alpi, fui condotto ad interpretare il calcolo delle differenze finite, diretto ed inverso, in modo da farlo diventare un potente ausiliario delle moderne ricerche basate sulla variabilità complessa. Naturalmente, a questa interpretazione aggiunsi alcuni teoremi affatto nuovi. Allorché poi l’utilità di queste mie cose mi parve largamente dimostrata dall’applicazione allo studio, ora tanto in voga, delle equazioni differenziali lineari, pensai che avrei potuto concorrere al premio proposto dalla vostra Accademia su quest’argomento, e mi risolvetti a scrivervi la mia prima lettera.

Però voi avete interpretato questa lettera in un senso che io era lontanissimo dal darle. Dite “Je ne puis malhereusement engagé à l’avance ni l’Académie, ni la Commission, qui n’est pas même nommée et qui sera souveraine.” Io lo credo bene! E non avrei mai imaginato [sic!] di pretendere cose ingiuste. Ma tutto ciò sia come non detto. L’essenziale ora si è che la vostra lettera mi ha rialzato e soddisfatto pienamente.

Accettando il vostro consiglio, farò stampare subito negli Annali di Matematica di Milano una parte della interpretazione suddetta con l’applicazione per ora alle proprietà fondamentali degli integrali delle equazioni differenziali lineari a coeff.[icienti] monodromi. E non manderò alcun manoscritto; parendomi non necessario giacché mi basta di sapere dalla vostra lettera, che la Comm.[issione] potrebbe anche prendere in considerazione lavori pubblicati per la stampa. Io non avrei nessun gusto di fare concorrenza al sig. Laguerre. Sono abbastanza pago di poter credere che ove il sig. Laguerre non si risolvesse a concorrere, potrebbe essere presa in considerazione anche la Memoria che io adesso pubblicherò, e quelle altre sulle equazioni lineari ancora e su altre ricerche con variabilità complessa che avessi agio di pure redigere in netto e stampare.

Perdonatemi tutto questo disturbo, pur troppo grande per voi certamente accerchiato da mille cose, ed aggradendo l’attestazione della profonda mia stima e del mio affetto, vogliate conservarmi la vostra preziosa benevolenza.

Dev.$^\mathrm{{mo}}$ vostro

F. C.

Letter 5: Bertrand to Casorati

Paris, 15 février 1880

Cher monsieur,

J’ai recu votre lettre avec grand plaisir très heureux de voir qu’il ne reste rien du malentendue dont j’ai été, bien sans inténtions, la cause.

Je ne puis, comme je vous j’ai dit, prendre aucun engagement au nom d’une Commission qui n’existe pas encore et vous l’avez parfaitement compris mais je crois de vous avoir laissé prendre pour une habitude de l’académie ce qui a été fait une fois or deux seulement dans des circumstances exceptionelles. Les commissions peuvent décerner le prix à des mémoirs imprimé et non envoyé au concours mais elles ne l’ont fait que très rarement, en l’absence de plis régulierement envoyés au concours et digne de disputer le prix et lorsqu’aucune membre de la Commission n’envoquait la lettre des programmes pour s’y opposer.

Si donc vous avez obtenu $\ldots$.³⁶ des résultats importants et si votre désir bien naturél est de les faire courronner par l’académie des Sciences de Paris, il est prudent de les lui envoyer et s’ils ont été imprimés par entier, vous pouver citer le pubblications, mais en mettant sous les yeux des commissaires un³⁷ $\ldots$ complet de votre travail. En procedent autrement, vous ne rendrez pas le succès impossible parce qu’il y a des examples qui sont tout semblables, mais vous en diminuerez singulierement les chances. [$\ldots$]

J. Bertrand

Letter 6: Casorati to Cremona

Pavia, 25 febb. 1880

Caro Cremona,

Sono scampato anch’io da una grave disgrazia. La mia Eugenia veniva assalita da pleurite con minaccia di tifo, così da metterne per qualche giorno in pericolo la vita. Fortunatamente il tifo non si sviluppò e la pleurite va attenuandosi. Benché sventata, questa minaccia ha tanto prostrato le mie forze che non sono peranco capace di applicarmi per un’ora allo studio. L’essersi ammalata in Milano, e il dovervisi naturalmente fermare ancora molto tempo fa sì che non posso più vedermi nella solitaria casa di Pavia.

Al principio di questo mese avevo fatto comunicar una mia lettera all’Ist.[ituto] Lombardo alla quale tenevo assai. Ma nella seduta ultima mi mancava ogni lena per spiegare come avrei desiderato ai colleghi mat.[ematici] le cose mie. Ora poi lo sciopero degli operai tipografi impedisce la stampa dei Rendiconti. Perciò avrei piacere di fare ai Lincei la Comunicazione suddetta, e per mezzo tuo, che sai sostenere così bene i tuoi clienti.

La comunicazione ha per titolo: “Il calcolo delle differenze finite interpretato ed accresciuto di nuovi teoremi a sussidio principalmente delle odierne ricerche basate sulla variabilità complessa”.

In virtù della medesima moltissime ricerche che costarono gran fatica a matematici valenti diventano ovvie traduzioni di quanto già da tempo è stato fatto nel calcolo delle differenze finite. In questa prima Comunicazione dimostro la importanza della mia interpretazione facendone applicazione a due argomenti: allo studio delle equazioni algebriche a coefficienti monodromi; ed a quello ora di moda delle eq.[uazioni] diff.[erenziali] lineari.

Potrai vedere nella 1$^\mathrm{a}$ applicazione come riducasi a poche linee una metà delle celebri e lunghe “Recherches sur les fonctions alg.[ébriques] del sig. Puiseux” e nella $2^\mathrm{a}$ come scendano immediatamente dalle note formole d’integrazione delle equazioni alle differenze finite lineari e coi coeff.[icienti] costanti le proprietà e le espressioni degli integrali delle equaz.[ioni] differenziali lineari con coefficienti monodromi che costarono tanta fatica al sig. Fuchs (1$^\mathrm{a}$ sua Memoria) e diedero da fare ai signori Thomé Frobenius Hamburger, Jurgens.

Quel teorema sul determ.[inante] $\Theta$ parvemi veramente bello e di grande uso. Utile pure il determ.[inante] $H$.

Ero molto soddisfatto di questa interpretazione che sembrami di poter qualificare come una scoperta analitica di grande fecondità, e m’avviavo a farne molte altre applicazioni, quando la malattia dell’Eugenia venne a spaventarmi ed istupidirmi.

Se non ti dispiace di fare per me questa comunicazione nella prossima seduta Lincea ti manderò il manoscritto, che in parte feci già leggere a Beltrami.

Non t’avrei dato questo disturbo se il ministero t’avesse trascinato già sino d’ora, come si cominciava a dire, nel suo vortice.

Mille affettuosi e rispettosi saluti alla sig. Elisa ed alle tue care figlie, ed a te una cordiale stretta di mano.

Tuo F. C.

Letter 7: Casorati to Bertrand

Pavia, 3 aprile 80

Car.$^\mathrm{mo}$ ed. illustr. Signore

($\ldots \ldots$) Mi sarei deciso di ritirare il manoscritto destinato agli Annali, ampliarlo e riscriverlo meglio che potrò, e spedirlo al Segretario della vostra Accad.[emia] entro il maggio, conformemente alle riflessioni della vostra ultima lettera. Ma devo pregarvi di una risposta alla seguente domanda: Posso mandare un manoscritto in lingua italiana, o devo tradurlo in francese? Se aveste la bontà di darmi questa risposta, ve ne sarò sempre più obbligato, e spero che sarà l’ultimo disturbo che vi avrò arrecato.

Però non posso chiudere la lettera senza pregarvi vivamente, per quando riceverete il mio articolo stampato dai Lincei, di volergli dare un’occhiata. Voi troverete tutto facilissimo, e mi è caro sperare che il teorema pel determin.[ante] $\Theta$, e le applicazioni che ho indicate alla fine, e la evidente molteplicità delle altre applicazioni possibili, non abbiano a parervi indegne della vostra attenzione.

Vostro devotissimo

F. C.

Univ.[ersità] di Pavia

Letter 8: Bertrand to Casorati

Paris, 7 avril 1880

Cher monsieur,

Il n’y a pas de temps perdu, aucun mémoire n’a été envoyé jousqu’ici et la Commission qui doit les juger n’est pas encore nommée.

Un manuscrit en langue italienne sara certainement reçu et la lecture, j’en suis certains, sera facile à tous les commissaires. Je pense cependant que si cela ne vous est trop pènible, il vaut mieux écrire en Francais; vous serait jugé plus facilement et sans porter atteinte ou secret qui, éxigé pour les noms des concurrents, ne l’est pas pour leur nationalité, mais reste cependent préferible. [$\ldots$]

Votre amis très dévoué,

J. Bertrand

Letter 9: Casorati in the billet cacheté

ce 22 mai 1880

Félix Casorati

Professeur à l’Université de Pavie-Italie

Le manuscrit concernant les interprétations du Calcul aux différences dont j’ai fait mention dans la préface a été comuniqué à l’Institut Lombard de sciences et lettres dans sa séance du 19 février, et devait être publié tout-de-suite dans les Annali di Matematica (Milano). Mais une longue trève des ouvrièrs interrompit tout travail dans l’imprimerie des Annali. Alors j’ai comuniqué une copie de ce manuscrit à l’Académie R. des Lincei dans sa séance du 7 mars. Mais l’excès des travaux académiques à imprimer et une grave malheur domestique, qui détournait mon esprit des études, retardèrent aussi l’impression de cette comunication. Les deux manuscrits, maintenant quelque peu amplifiés, vont enfin paraître publiés dans peu de jours. Mais leur lecture serait tout-à-fait inutile pour qui connaît le manuscrit présenté avec ce billet au concours.

Letter 10: Casorati to Brioschi

Madesimo presso Pianazzo

sullo Spluga, 31 luglio 80

Carissimo sig. Direttore (Brioschi)

Già le dissi in Milano di aver fatto qualche pensiero sul premio Bressa da conferirsi stavolta all’Italiano che nel quadriennio 1877–1880 a giudizio dell’Accad.[emia] di Torino avrà fatto il miglior lavoro “sulle scienze fisiche e sperimentali, storia naturale, matematiche pure ed appl.[icate], chimica, fisiologia e patologia, non escluse la geologia, la storia, la geografia e la statistica”.

In verità, per la moltitudine delle materie ammesse a concorso, è assai poco probabile che il premio venga dato ad un matematico. Però, dappoiché ciò è possibile, e dappoiché a me sembra che la Memoria, che ora le dirigo (Il calcolo delle diff.[erenze] ecc.), sia la più importante tra le apparse nel quadriennio, in primo luogo per la estesa applicabilità delle idee che vi sono esposte, in secondo luogo per la importanza dei teoremi (specialmente quello del $\Theta$ o $\Delta$) e delle applicazioni che già in questo primo saggio potei abbastanza minutamente indicare, penso che sarebbe quasi colpevole negligenza in me che ho famiglia, il nulla fare per mettermi in vista all’Accademia. Sentito il parere di Beltrami, ne parlai con Genocchi, il quale aggradì moltissimo l’esposizione che gli feci di una parte della Memoria, allora non per anco uscita dalla Tipografia. Ma a portare vie più l’attenzione dell’Accademia sulla medesima, servirebbe egregiamente la proposta di Lei, quale socio dell’Accad.[emia], come pure quella di Betti. E pertanto, lo scopo della presente lettera è pregarla a voler dare un’occhiata alla Memoria, ed a voler poi, nel caso che ne ricevesse impressione abbastanza favorevole, scrivere due semplici righe all’Accademia, come già altri fecero pel 1$^\mathrm{o}$ premio ($\ldots$)

Ed ora devo pregarla di scusarmi, se, per questa eccezionale circostanza dovetti lodare un mio lavoro. L’assicuro che questa necessità mi spiace assai, e che non penso di prendere da qui le mosse per seguire le consuetudini dei francesi. (...)

il suo aff.$^\mathrm{mo}$ F. Casorati

Letter 11: Casorati to Picard

Pavie, ce 11 décembre 1880

Monsieur (E. Picard)

Vos travaux, et tout ce que m’a dit des vous M. Mittag-Leffler, en me visitant il y a quelque mois, et la nouvelle de vôtre prochain marriage avec une fille du grand Géomètre³⁸, qui est une des plus pures et plus hautes gloires de la France, tout cela m’ispire une vive estime et sympathie et, par conséquent, le désir d’établir avec vous quelques rapports personnels. C’est pour cela que je me suis décidé à vous envoyer tous les exemplaires qu’il m’est possible, des mes travaux de mathém.[atique] pure, (deux paquets) avec cette lettre, en vous priant d’avoir la bonté de les agréer et de vous souvenir possiblement de moi, lorsque vous dispenserez les exemplaires de vos propres travaux.

Je vous enverrai dans une autre occasion quelques autre Mémoires, dont une partie est déjà imprimée, contenants bon nombre d’applications du Calcul des différences finies, lesquelles vous interesseront, j’èspere, beaucoup. Dans pluiseurs d’entre elles joue un rôle très important et très-élégant le detérminant

$$\begin{aligned} \left| \begin{array}{c@{\quad }c@{\quad }c@{\quad }c} f_1 &{} f_2 &{} \ldots &{} f_n \\ \Delta f_1 &{} \Delta f_2 &{} \ldots &{} \Delta f_n \\ \ldots &{} \ldots &{} \ldots &{}\ldots \\ \Delta ^{n-1} f_1 &{} \Delta ^{n-1} f_2 &{} \ldots &{} \Delta ^{n-1} f_n \end{array} \right| \end{aligned}$$

formé avec les différences successives de pluiseurs fonctions $f_1,\ldots ,f_n$, d’une même variable $t$, le quel j’écris aussi comme il suit

$$\begin{aligned} \left| \begin{array}{c@{\quad }c@{\quad }c@{\quad }c} f_1 &{} f_2 &{} \ldots &{} f_n \\ \theta f_1 &{} \theta f_2 &{}\ldots &{} \theta f_n \\ \ldots &{}\ldots &{}\ldots &{}\ldots \\ \theta ^{n-1} f_1 &{} \theta ^{n-1} f_2 &{} \ldots &{} \theta ^{n-1} f_n \end{array} \right| \end{aligned}$$

en écrivant $\theta f, \theta ^2 f,\ldots$ au lieu de $f(t+1), f(t+2),\ldots$. De telle manière, on peut regarder $\theta$ comme un symbole d’opération, ce qui est, comme vous verrez, très utile.

En envisageant la variabilité de $t$ de plusieurs point des vue différents et en relations avec d’autres variables qui jouent elles-mêmes le rôle de variables indépendantes, on obtient plusieurs interprétations différentes du symbole $\theta$, et autant de manières corréspondantes de traduire toutes les formules ou propositions, qui ont été acquiséz jusqu’ici dans l’analyse directe et inverse des différences finies, dans des résultats concernants d’autres branches de l’analyse mathématique. Le Calcul des différences finies si negligé dans ces dernièrs temps acquiert par là une importance très-grande et inattendue même pour l’analyse infinitésimale.

Mais je ne veux pas être trop indiscret, en vous entretenant plus longtemps sur mes travaux. Veuillez donc agrée, je vous en prie de nouveau, les séntiments d’éstime et de sympathie qui m’ont fait écrire cette lettre, et soyez si bon de me pas m’oublier tout-à-fait.

Votre serviteur

F. Casorati

Prof. à l’Université de Pavie

Italie

Je vous serai très-obligé si vous voudrez m’assurer par quelques mots d’avoir reçu les paquets.

Letter 12: Picard to Casorati

Toulouse, ce 17 décembre 1880.

Monsieur

J’ai été très flatté de votre aimable lettre et je serai très heureux d’établir avec vous de relations amicales. Je vous remercie vivement des exemplaires de vos travaux que vous m’avez envoyés; la plupart d’entre eux m’étaient déja connus, et quant à votre traité sur les fonctions d’une variable complexe c’est un livre excellent et que j’ai pu apprécier d’autant mieux que les sujets qui y sont traités me sont extrêmements familiers. Tout ce que vous me dites des différences finies et notamment du déterminant des $\Delta$, m’intéresse extrèmement, et j’attends avec impatience les résultats complets de vos études sur ces importantes questions.

Je vous enverrai très prochainement les mémoires ou notes qu’ai publiés et dont j’ai encore entre le mains de tirages et vous pouvez être assuré que dans l’avenir je me ferai un devoir et un plaisir de vous réserver toujours un exemplaire de ce que je pourrai faire. Ce sont surtout les questions de la théorie générale des fonctions de variables complexes qui m’ont beaucoup occupé depuis quelque temps. Les beaux résultats de M. Weierstrass ont été le point de départ des mes propres récherches et vous trouverez dans mon mémoire sur les fonctions entières un théorème qui, si je ne me trompe, a peut être quelque importance. Je viens de corriger en ce moment les épreuves d’un mémoire qui va prochainement paraître dans le Journal de Crelle,³⁹ et qui est relatif aux équations linéaires à coefficients doublement périodiques; j’espère qu’il vous intéressera. Ce sont les recherches de M. Hermite sur l’équation de Lamé qui m’ont jeté sur la voie des résultats auxquels je suis parvenu.

En ce moment, monsieur, mon mariage est la grand action qui me préocupe; j’ai du revenir à Toulouse pour faire quelques cours à la Faculté et j’attends avec impatience mon départ pour Paris, qui aura lieu dans trois jours.

Soyez persuadé que je recevrai toujours vos lettres avec joie et je serai heureux de toutes les communications mathématiques que vous voudrez bien me faire. Permettez de vous assurer de sentiments d’estime et de sympathie que je conserve pour vous.

Emil Picard

professeur à la Faculté des Sciences

de Toulouse.

Letter 13: Casorati to Bonnet

Pavie, ce 6 février 1881

Cher Monsieur et ami (Ossian Bonnet)

Avec ces lignes je vous envoye la traduction française d’une lettre que j’ai fait insérer dans les Annali de M. Brioschi, à cause d’une Note publiée récemment par M. Stickelberger;⁴⁰ et je profite de l’amitié dont vous m’avez toujours honoré pour vous prier de vouloir l’observer, et de compatir mon irritation, en égard à la peine que j’ai dû essayer en voyant malveillance et, peut-être, mauvoise foi de la part d’un collègue.

Mon mâitre bien-aimé M. Brioschi me conseillez d’adresser à M. Hermite une Note, pour être insérée aux Comptes Rendus, dans le but de faire toujours mieux constater ma priorité dans l’application du Calcul des différences à la théorie des équations différentielles linéaires. Cependant dans cette Note je n’ai rien dit qui pût avoir l’aspect de personnalité, en me bornant à rappeller mon Memoire, et du rest completant la détermination des sous-groupes d’intégrales faite par M. Hamburger; ce qui peut intéresser indépendamment de toute question personnelle.

Mais dans une lettre confidentielle à un ami, quelque manifestation de mécontentement personnel pourra être pardonneé.

L’année dernière je m’étais occupé avec ardeur de la theorie des équations différentielles linéaires, mais une maladie très-grave de ma fille ainée, étant survenue [à] troubler ma tête et deranger mes plans, je n’ai pu ne m’a permis de rediger mes recherches qu’en partie d’une manière convenable pour être imprimées. Comme si cela n’etait pas assez pour me fâcher, M. Stickelberger vient maintenent essayer d’approprier à soi même et à Riemann et a M. Hamburger une partie des idées qu’il m’a été cependant possible de publier dans cette année malheureuse. Mais sa tentative ne peut qu’échouer. Je n’ai pas la pretension que personne ne s’occupe de l’application du Calcul des différences à la dite théorie ou à d’autres branches de l’analyse de la variabilité continue. Au contraire je dois voir de bon gré paraître des travaux fondé sur les idées que j’ai conçues et chercher à expliquer. Mais je ne puis pas être content que l’on cherche à m’ôter ce qui m’appartient.

En redigeant sa Note avec calme, sans l’idée injuste de la faire passer pour contemporaine de mon Mémoire, il aurait pu la livrer au public sous une forme beaucoup meilleure et il n’aurait pas certainement suscité de récriminations de ma parte. La méthode de Cauchy à la résolution du système d’equations aux différences, qui est l’object de la première partie du §1 est bien faite; et la combination des formules de résolution ainsi obtenues avec la formule de Weierstrass, effectué dans la première partie du §3, vient à-propos; quoique ce tour ne soit necessaire, comm’il semble croire, pour arriver à la forme la plus simple de la distinction des integrales en sous-groupes. Mais, dans l’empressement de faire paraître sa Note, il ne s’est pas aperçu que le seconde partie de ces deux paragraphes et les paragraphes restants (hormis le dernier qui se rapport à un autre point) sont trop remplis de répétitions et des calculs superflus. Le §2 particulierment, tout plein de calculs assez ennuyeuse, pouvait se remplacer par quelques observations brèves, claires et sans calculs.

La personne à laquelle je fais allusion, au commencement de ma lettre imprimée, est M. Frobenius, qui a travaillé et publié plusieurs articles en communion avec M. Stickelberger. C’est pour cela que j’ai terminé cette lettre en rappellant mon chapître sur le determinant

$$\begin{aligned} \Theta =\left| \begin{array}{c@{\quad }c@{\quad }c} y_1 &{} \ldots &{} y_n \\ \ldots &{} \ldots &{} \ldots \\ \theta ^{n-1}y_1 &{} \ldots &{} \theta ^{n-1}y_n \end{array}\right| \quad \text{ ou } \text{ son }\, {{\acute{\mathrm{e}}}\!}\text{ gal }\quad \Delta =\left| \begin{array}{c@{\quad }c@{\quad }c} y_1 &{} \ldots &{} y_n \\ \ldots &{} \ldots &{} \ldots \\ \Delta ^{n-1}y_1 &{} \ldots &{} \Delta ^{n-1}y_n \end{array}\right| . \end{aligned}$$

M. Frobenius tient fort beaucoup à ce qu’on le regarde comme l’auteur qui a le plus soigné le determinant

$$\begin{aligned} D=\left| \begin{array}{c@{\quad }c@{\quad }c} y_1 &{} \ldots &{} y_n \\ \ldots &{} \ldots &{}\ldots \\ D^{n-1}y_1 &{}\ldots &{} D^{n-1}y_n \end{array}\right| \end{aligned}$$

et M. Stickelberger déclare pompeusement dans son dernier § qu’il désignera, d’apres M. Frobenius, par $D(y_1, y_2,\ldots ,y_n)$. N’est ce donc pas étonnant qu’il puisse oublier mon chapître susdit, qui comprend, comme cas particulier, tout ce que l’on peut dire sur le determinant $D$? Mais le temps fera justice, car les applications nouvelles, qu’il m’arrive de faire chaque fois que je reviens à ce determinant $\Theta$, ne me laissent plus douter qu’il soit pour prender une place distinguée parmi les instruments les plus utiles et les plus élégants de l’analyse. Permettez-moi d’ajouter, qui je partage la répugnance de la plus part des géomètre contre l’utilisation de notations ou dénominations nouvelles. Mais l’introduction d’un symbole (tel que $\theta$), pour désigner par $\theta f$ ce que une fonction $f$ devient par effet de la variation d’une nature prefixée, de certaines éléments dont elle dépend, m’a paru trop utile pour y renoncer. Parmi les advantages ce n’est pas petit celui-ci, de pouvoir comprendre sous un même enoncé des propositions qui se rapportent à des sphères des recherches très différentes. Dans les unes, la variation, supposée par $\theta$ pourra consister dans le tour qu’une variable ou plusieurs variables imaginaires, dont nos fonctions dépendront, doivent faire autour d’un ou plusieurs systèmes des points singuliers; dans d’autres, la variation pourra consister dans un système d’accroissement que les éléments variables doivent prendre dans d’autres, enfin, la variation pourra consister dans tout autre chose. Et il va sans dire qu’il est très utile, de pouvoir aussi employer plusieurs symboles $\theta , \theta ',\ldots$ simultanément.

Je voudrais bien vous entretenir un peu plus sur cet argument, mais je crois d’avoir absorbé déja trop de temps à vos occupations. Et la note de M. Stickelberger aurez vous eu le temps et l’envie de la lire? Dans le cas négatif je serais encore plus coupable d’indiscretion! Mais votre bonté a été toujours très grande; j’èspere donc, même dans ce cas, votre pardon. Et plus ancore, je compte aussi sur votre bienveillance pour l’avenir, de sorte que pourrai toujours me souségner

votre ami dévoué

F. Casorati

Soyez aussi indulgent pour les

fautes que j’aurais commisés

en ecrivant en francais

Letter 14: Bertrand to Casorati

Paris 15 février 1881

Je vous remercie bien cordialement, très cher Monsieur, de la nouvelle, pour moi si flattante, que vous voulez bien m’annoncer. Je ne suis pas digne de succeder à mon illustre ami M$^\mathrm{r.}$ Chalses et n’en dois que plus de recoinnaissance à ceux qui ont bien voulu songer à moi.⁴¹ Vous voudrez bien leur transmettre l’expression de mes sentiments les plus sincèrement et entièrement devoués.

L’Académie a décerné hier le Prix de Mathématiques pour la question des équations linéaires. Un très beau et ingenieux mémoire dans laquel l’étude des point critiques est éclairci et simplifiée par l’emploi des équations aux différences, avait attiré l’attention de la Commission qui n’a pu cependant lui accorder qu’une mention très honorable. Que le savant auteur veuille bien attendre pour condamner ses juges, la lecture du mémoire très considérable qui a été couronné et dont l’auteur est $\hbox {M}^\mathrm{r}$ Halphen; notre compatriote s’y montre beaucoup plus grand géomètre encore que les excellents debuts ne l’avaient promis. Il étudie les changements d’une équation linéaire quand on remplace la variable independante par une autre ou quand on multiplie l’inconnue par une fonction choisie de manière à simplifier l’équation qui ne cesse pas d’être lineaire. Il me semble qu’il équisse le sujet en tirant un très grand partie des invariants introduits par M. Laguerre qui je crois n’a pas concours.

Veuillez recevoir, cher Monsieur Casorati, l’assurance de mes sentiments les plus affectueuse.

J. Bertrand

Letter 15: Casorati to Bertrand

Pavie, ce 21 février 1881

Cher Monsieur

je vous remercie de votre comunication, adressée à Milan m’est parvenue en ritard, du 15 février, et particulierement des expressions affectueuses dont vous confortez mon esprit dans une circostance [sic!] où il en a vraiment tout le besoin. Car, je l’avait dit avec Pascal dans ma devise, nous ne pouvons prendre plaisir à une chose qu’à condition de nous fâcher si elle ne réussit pas. Et je ne puis à présent m’empêcher d’être fâché douloureusement d’autant plus que j’ignore les terms précis du rapport. Vos Comptes Rendus ne sont pas seulement la pubblication la plus observée par les professeurs de mon Université, mais ils sont lus aussi par les étudiants qui sont inscrits dans l’école normale annexée maintenent à cette Facultés des Sciences math.[ématiques] etc.

Un professeur de cette même Université, feu M. Codazzi, qui avait concouru au prix relatif à la théorie des surfaces applicables l’une sur l’autre, a pu rester satisfait de la simple mention qu’on lui avait accordée en Mars 1861. Mais alors le rapporteur, que vous connaissez très-bien, avait écrit: “Les trois autres Mémoires, inscrits sous les nos. 1, 2, et 5, remplissent complètement le programme tracé par l’Académie. Si l’un quelconque des trois avait été présenté seul à notre examen, nous lui aurions sans hésiter accordé le prix.”⁴²

Maintenent, qui sera le rapporteur?

Et connaîtra-t-il assez une position scolastique pour prendre bon soin de la ménager par quelques expression de la valeur de celles que je vient de citer? Ce serait pour lui d’autant plus facile que mon travail et celui de M. Halphen n’admettent pas, il me semble, une comparaison rigoreuse; leur points de départ et leur directions étant differents; et mon travail contienant aussi incontestablement des perfectionnements importants. Je ne doute pas de la haute valeur du Mémoire du jeune géomètre que vous avez couronné; mais son mérite n’exclut pas que mes applications du Calcul aux differences soient tout-à-fait nouvelles, et que leur portée ne soit née à l’étude des intégrales autour des points critiques, faite par M. Fuchs, comme on peut perçevoir par mon manuscrit et comme on verra toujours mieux dans la suite.

A la vérité l’expression très honorable contenue dans votre lettre devrait me rassurer; mais je vous prie de compatir ces craintes, dont je ne sais pas me delivrer sur le moment. Du reste, je vous prie aussi de croire que je ne voudrai pas mal à mes juges, ni à mon maître bien aimé, M. Brioschi, qui m’a inspiré l’idée du concours. Je ne ferai que répéter ce que j’ai pensé dans d’autres moments de ma vie: d’être né sous un étoile assez malheureuse.

Pardonnéz moi, cher Monsieur Bertrand, cette lettre trop longue et trop triste et veuillez me conserver votre bienveuillance toujours précieuse.

F. Casorati

Letter 16: Stickelberger to Brioschi. ⁴³

Schaffhause [sic!], 9 avril 1881

Monsieur le directeur

Puisque vous avez accordé quelque pages de vos annales à la lettre de M. Casorati, ecrite à l’occasion de mon mémoire “Zur Theorie der linearen Differentialgleichungen”, j’éspère que vous voudrez bien inséré dans le même recueil une response de ma part, qui, du reste, ne sera pas longue.

M. Casorati part de la supposition que j’aie commencé mon travail ayant conaissance de son mémoire; il me reproche d’avoir employé sa méthode sans en indiquer l’origine. Voici ce que je pourrais lui répondre. C’est seulement après avoir trouvé les principaux résultats des paragraphes 1 à 4 de mon écrit, que j’en parlai avec M. Lindemann en faisant mention spéciale du calcul aux differences finies, et c’etait précisement cette mention qui l’engagea à me faire parvenir le mémoire de M. Casorati que celui-ci venait de lui envoyer. Mais je crois ne pas avoir besoin de repondre au [sic!] long à une imputation qui ne trouvera aucun credit auprès de tout ceux qui me connaissent.

Au reste il est evident que M. Casorati n’a pas pris la peine de lire mon mémoire en entier avant d’écrire sa lettre. S’il avait fait, il aurait remarqué que ce qui, pour lui, est une idée cardinale, n’est pour moi qu’un moyen pour arriver à un but determiné; il ne m’aurait pas demandé, pourquoi j’ai passé sous silence les recherches contenues dans son chapître deuxième et, en particulier, le théorème relatif à la condition pour l’existence d’une équation linéaire à coefficients périodiques entre plusieurs fonctions d’une seule variable indépendante. D’ailleurs, s’il avait en lieu d’employer ce théorème, je ne l’aurais pas emprunté à M. Casorati, mais à un Mémoire de M. Christoffel “Über die lineare Abhängigkeit von Functionen einer einzigen Verändlichen” publié en 1858 dans le Tome 55$^{me}$ du journal de Borchardt, où ce suject est traité d’une manière aussi elegante que complète. J’ai coutume de citer, dans toutes les questions importants, les auteurs qui, à ma connaissance, ont proposé les prèmiers les théorèmes dont je fais usage.

M. Casorati m’accuse d’avoir manqué de politesse vis-à-vis avec lui. Je laisse aux lecteurs des Annali le soin de juger, s’il est plus courtois d’employer, dans une critique purement objective, les mots “nicht rathsam”, ou bien de se servir, dans une résponse toute personnelle, d’éxpressions telles que “disgusto, malvolere, cattivi pensieri”.

Agréz, Monsieur, l’expression de mon plus profond respect

Votre dévué

L. Stickelberger

Letter 17: Casorati to Brioschi

Pavia, 17 aprile 1881

Carissimo sig. Direttore (Brioschi)

Ho letto la Memoria di Christoffel del 1858 e vi trovai infatti il teorema che la eguaglianza

$$\begin{aligned} \sum \pm f(m)f_1(m+1)\cdots f_n(m+n)=0 \end{aligned}$$

è condizione necessaria e sufficiente affinché le funzioni

$$\begin{aligned} f(m), \, f_1(m),\ldots ,f_n(m) \end{aligned}$$

della variabile discreta $m$ abbiano tra loro una relazione lineare a coefficienti costanti. Se avessi conosciuto questa Memoria, non avrei mancato di citare il Christoffel nell’occasione del mio determinante $\Theta$ come non mancherò di ricordarlo in una ventura occasione. Ma il Christoffel non allude mai ai coefficienti periodici e molto meno a coefficienti che sieno funzioni di una variabile complessa, monodrome intorno ad un punto. Non può essere che il malvolere dello Stickelberger capace di insinuare che queste idee fossero implicite in quella Memoria. ($\ldots$)

Appendix 2: Original letters concerning Pincherle’s unpublished note on Tannery’s theorem

Letter 1: Pincherle to Casorati.

Bologna, li 21/7/85.

Chiarissimo Sig. Professore

Nella Memoria del Sig. Goursat (Sur une classe de fonctions representeés par des intégrales définies—Acta Math., 1883) ho trovato l’enunciato di una proposizione data dal Sig. Tannery, che è la seguente:

Se $n$ funzioni sono tali che facendo qualunque giro colla variabile intorno a $p$ punti $a_1, a_2,\ldots ,a_p$, si ritrovano sempre combinazioni lineari a coefficienti costanti delle $n$ funzioni, esse funzioni soddisfano ad un’equazione differenziale lineare omogenea a coefficienti monotropi rispetto ai punti $a_1, a_2,\ldots ,a_p$.

Non ho potuto vedere quale sia la dimostrazione che il Sig. Tannery dà di questo teorema, essendo esso pubblicato nelle [sic!] Annales de l’Ecole [Sic!] Normale, che non si trovano nella Biblioteca di Bologna.

Però questa dimostrazione risulta come conseguenza immediata dal di Lei metodo per lo studio dei valori di una funzione nell’intorno di un punto singolare, contenuto nella Sua memoria Il calcolo delle differenze finite ecc. (Annali di Matematica, t. X); e spero che non le sarà discaro di leggere questa dimostrazione. Eccola in due parole:

Formiamo colle $n$ funzioni date, e con $n$ costanti arbitrarie, la funzione

$$\begin{aligned} E= c_1E_1+c_2E_2+\cdots +c_nE_n; \end{aligned}$$

eseguendo un giro intorno ad $a_1$, ed essendo $\theta$ l’operazione da Lei introdotta nella citata Memoria, sarà

$$\begin{aligned} \theta E =\sum _{i=1}^n c_i\theta E_i \end{aligned}$$

e per l’ipotesi fatta:

$$\begin{aligned} \theta E =\sum _{i=1}^n k_{1i}E_i \end{aligned}$$

e così

$$\begin{aligned} \theta ^r E=\sum _{i=1}^n k_{ri}E_i,\quad (r=2,3,\ldots ,n): \end{aligned}$$

da queste eliminando le $E_1, E_2,\ldots ,E_n$, viene:

$$\begin{aligned} K_n\theta ^n E+K_{n-1}\theta ^{n-1}E+\cdots +K_1\theta E+K_0E=0, \end{aligned}$$

dove le $K_i$ sono costanti. Ma questa equazione (Casorati, mem.[oria] citata, §10) indica che la $E$ soddisfa ad un’equaz.[ione] differenziale lineare a coefficienti monotropi in $a_1$, sia

$$\begin{aligned} {\varphi }_0E^{(n)}+{\varphi }_1E^{(n-1)}+\cdots +{\varphi }_{n-1}E'+{\varphi }_nE=0; \end{aligned}$$

e di questa sarà $E$ l’integrale generale. Ma lo stesso ragionamento dimostrerebbe che la $E$ è l’integrale generale di un’equaz.[ione] a coefficienti monotropi in $a_2$, di un’equaz.[ione] a coeff.[icienti] monotropi in $a_3$, ecc., il che non può essere che se

$$\begin{aligned} {\varphi }_0,\ {\varphi }_1,\ldots , {\varphi }_n \end{aligned}$$

sono monotropi in $a_1, a_2,\ldots ,a_p$; c.d.d.

Io credo che questa dimostrazione così semplice di una proposizione così importante non sarà senza interesse. In ogni modo La lascio giudice di decidere se sia il caso di farne una comunicazione a qualche Accademia; a me basta che risulti una volta di più l’importanza di quella Sua bella Memoria.

Mi conservi la Sua preziosa benevolenza, e mi creda, $\hbox {ch}^{\underline{\mathrm{mo}}}$ Sig. Professore

di Lei dev$^{\underline{\mathrm{mo}}}$

S. Pincherle

Letter 2: Casorati to Pincherle.

Hôtel Piora sopra Airolo (Svizzera)

30 luglio 1885

Caro Pincherle

Ricevo adesso da Pavia la sua lettera del 21 e rispondo come posso.

Sono assai distratto dagli studî e lontano dai libri, e non ebbi occasione di vedere la Mem.[oria] di Tannery contenente la proposizione enunciata nella Mem.[oria] del Goursat. Nondimeno convengo con Lei che tale proposizione non si possa dimostrare in maniera più semplice dell’indicata nella sua lettera. Naturalmente, a me fa piacere di veder presente in Lei la mia Mem.[oria] “Il calc.[olo] delle differ.[enze] ecc.” e farebbe pur piacere di vederla per di Lei mezzo ricordata agli studiosi che credo potrebbero farne facilmente molte applicazioni. Ma sembrerebbemi conveniente ch’Ella desse un’occhiata a quella Mem.[oria] Se fossi a Pavia, gliela manderei; ma così bisognerebbe ch’Ella dimandasse il vol.[ume] degli Annali de l’Ecole [sic!] normale a qualche collega di Milano, che potrebbe ritirarlo da quel collegio degli Ingegneri. Tale occhiata potrebbe suggerirle anche altre applicazioni della stessa mia Mem.[oria] da presentarsi insieme con la già scrittami ai Lincei o ad altra Accad.[emia]

Quando avrò il piacere di vederLa, Le dirò dei non pochi progetti che feci anch’io di correggere, semplificare, ricordare cose nostre [ai] matem.[atici] francesi in questi ultimi anni.

Ma Ella, ch’è giovane, fa bene a non contentarsi del semplice fare progetti.

Se non potrà avere il Tannery da Milano, me lo scriva, che glielo manderò poi io da Pavia.

Continui ad amar

l’aff.[ezionatissimo] suo F.C.

Letter 3: Pincherle to Casorati.

Bologna, li 3 Ottobre 1885

$\hbox {Ch}^\mathrm{\underline{mo}}$ Sig. Professore

Secondo il suo Consiglio, ho aspettato a redigere la Nota sulle equazioni differenziali, per cercare prima la Memoria del Tannery: ma non mi è stato possibile avere quel volume degli Annales de l’Ec., e non ho voluto disturbarla per questo finché Ella si trovava presumibilmente in campagna.

Ora ella sarà forse tornato a Pavia: in questo caso Le sarei gratissimo se mi potesse far avere quel volume (Serie 2, Tomo 4) degli Annali; e dopo letta la memoria del Tannery, redigerò (se sarà ancora del caso) e Le spedirò la noticina, rimettendo a Lei di decidere se convenga o no presentarla a qualche Accademia.

In queste vacanze ho lavorato ad una Memoria sugl’integrali definiti atti a rappresentare funzioni analitiche, nella quale spero di dare alcuni risultati nuovi: ma ci vorrà forse del tempo perché sia in ordine per la stampa, e l’argomento mi si fa sempre più vasto. Mi consiglia Ella a sospendere per qualche tempo ogni pubblicazione, lavorando intanto per il Premio dei Lincei dell’89, o è troppa presunzione la mia?⁴⁴

Sarei ben lieto che si presentasse quell’occasione, che Ella accenna nella sua lettera, di poterla vedere qui; è un desiderio che nutro da molti anni, perché da molti anni non ho potuto discorrere dei miei studî con persona competente e perché voglio ringraziarla a voce della benevolenza di cui Ella mi è stato prodigo in questo periodo di tempo.

E con questa speranza, La prego di credere all’affetto ed alla devozione del suo

Salvatore Pincherle

Letter 4: Casorati to Pincherle.

Pavia, 17 ott. 1885

Caro Pincherle

Circa il premio linceo io non trovo niente affatto presuntuoso il progetto suo di concorrervi. Di più non vorrei dire; se non altro, perché impedito dalla lontananza di seco conversare distesamente.

Rileggendo la Sua lettera del 21 luglio, vedo che la proposizione ivi considerata appartiene all’antica (1874) [sic!] Memoria del Tannery sulle equaz.[ioni] diff.[erenziali] lineari; Memoria che a suo tempo lessi con attenzione. E però, pur seguitando a credere che la di Lei dimostrazione sia della massima semplicità non oserei consigliarle il sacrificio del tempo occorrente alla redazione di una Nota per la stampa, se nella Nota non dovesse entrare che la pura dimostrazione suddetta. Faccia dunque Ella ciò che le pare conveniente; è certo ch’io ne resterò in ogni modo soddisfatto. Quanto al volume contenente la Mem.[oria] del Tannery, glielo spedirò appena sarà arrivata una delle tre persone che tengono le chiavi della libreria della Scuola Normale di questa Università.

Le vacanze hanno ristorato assai le mie forze fisiche; ma sono tuttora sbalordito dall’inaspettata perdita di mio fratello⁴⁵. Era il solo superstite della mia famiglia paterna, aveva per me indicibile affetto ed io per lui tenerezza e venerazione ad un tempo.

Mi ricordi ai colleghi e mi voglia sempre bene.

Suo F. Casorati

Letter 5: Pincherle to Casorati.

Bologna, li 19/10/85

Chiarissimo Sig. Professore

Con vivo rincrescimento rilevo dalla Sua lettera la notizia della perdita del di Lei fratello: io non ho avuto l’onore di conoscerlo, ma ne ho spesso sentito parlare con deferenza e stima. Le auguro che il tempo e l’affetto dei suoi possano lenire il Suo dolore, cui mi associo.

In questa circostanza non voglio più tediarLa con cose mie, che non possono avere per Lei che un meschino interesse, e ringraziandoLa dell’offerta di spedirmi il volume degli Annales, credo che Ella possa risparmiarsi questo disturbo se non vede l’opportunità di pubblicare quella dimostrazione. Certamente quella Memoria, essendo del 1874 (cosa che non sapevo) non può contenere risultati che non siano noti dopo i più recenti lavori sulle equazioni differenziali.

Come già Le dissi, ho trovato quel Teorema citato dal Goursat, in una Memoria che studiavo per i miei lavori sugl’integrali; e mi venne subito alla mente l’idea che la dimostrazione di quella proposizione si dovesse ottenere nel modo più semplice applicando il Suo metodo (l’operazione che Ella chiama $\theta$.) D’altronde questa osservazione non ha attinenza diretta coll’argomento che ora sto studiando, e di cui Ella vedrà fra poco un primo saggio in una “Note sur une intégrale définie” che uscirà in uno dei prossimi fascicoli degli Acta Mathematica.

Mi auguro che questo lavoro sia per incontrare la Sua approvazione, alla quale tengo sopra tutto; e pregandola di riverire per me i Sig. Professori Beltrami, Bertini e Maggi⁴⁶, La prego, $\hbox {ch}^{\underline{\mathrm{mo}}}$ signor Professore, di tenermi sempre per

$\hbox {Suo dev}^{\underline{\mathrm{mo}}}$ e aff$^{\underline{\mathrm{mo}}}$

S. Pincherle

Letter 6: Casorati to Pincherle.

24 dic. 85

Mio caro Pincherle

Voglia aggrad.[ire] coi miei aug.[uri] l’artic.[olo] che le invio.

Avrei voluto scriverle assai prima per dirle che ha dato repentinamente troppo peso alla mia opin.[ione] circa quella tale dimostr.[azione] Del resto, io non potevo vederne che con piacere la pubbl.[icazione], che Ella ad ogni modo avrebbe potuto fare dicendo che proponevasi ricordare agli studiosi una Memoria forse meritevole di qualche attenzione (e non di essere negletta, come si fa dai Francesi, non ostante la lunga recensione fattane da non so chi nel Bulletin di Darboux⁴⁷).

Ami sempre il suo aff. F.C.

Letter 7: Pincherle to Casorati.

Bologna, li 29 $\hbox {X}^\mathrm{bre}$ 85

Chiarissimo Sig. Professore.

Prima di tutto la Prego di accogliere i miei più sinceri auguri di felicità per il prossimo anno: ed i miei ringraziamenti per la Memoria che Ella mi ha favorito.⁴⁸

Questa Memoria è destinata certamente ad avere una grande importanza, e tocca uno degli argomenti puì vitali della Analisi. Anche a me—per quanto poco possa valere la mia opinione,—era sempre sembrato naturale che si dovesse poter trovare proprietà della $\int _0^z\frac{{\mathrm d}z}{\sqrt{R(z)}}$ o della sua inversa anche se $R(z)$ è di grado superiore al $4^{\underline{\mathrm{to}}}$; e credo che se ciò non è stato fatto si deve attribuire in parte alla grande fecondità delle idee di Abel e Jacobi, di considerare le inverse come funzioni di più variabili, che non ha fatto cercare una estensione della Teoria delle f.[unzioni] Ellittiche nel campo di una variabile sola. Sono persuaso che in questo ordine d’idee Ella giungerà a dei risultati di somma importanza. E così, la Teoria delle f.[unzioni] Ellittiche verrà anch’essa ad acquistare maggiore importanza, trovandosi per così dire all’intersezione delle trascendenti Abeliane da una parte, delle Sue nuove trascendenti dall’altra.

Io avevo rinunziato all’idea di pubblicare quella Nota sulla Mem.[oria] di Tannery, più di tutto per non darLe il disturbo di spedirmi il volume degli Annales de l’Ec.[ole] Normale. Se Ella però ha la compiacenza di farmelo avere, vedrò di stendere quella Nota, cercando anche d’applicare il Suo metodo ad altri Teoremi se è possibile, e quando la Nota sia redatta, gliela spedirò ed Ella giudicherà se sia o no da pubblicare.

Desidererei pure dalla Sua Cortesia un’altro [sic!] favore, che spero Ella non mi vorrà negare; e sarebbe (con tutto suo comodo) l’indicazione del tomo del American Journal nel quale trovansi le memorie d’un certo Daniell sulla Teoria delle f.[unzioni] Ellittiche secondo il Weierstrass.⁴⁹ Se potessi avere quella indicazione, farei venire quel volume per la via di questa Biblioteca, dalla Biblioteca Universitaria di Pavia, dove si trova a quanto credo, l’American Journal.

Ho avuto il piacere di vedere poco fa il prof. Maggi, che mi ha dato le di Lei notizie e mi ha fatto sperare una Sua gita a Modena e a Bologna. Sarei lietissimo di questa circostanza, che mi auguro già da 5 anni.

Pregandola d’accogliere di nuovo i miei auguri ed i miei ringraziamenti, e di riverire per me il Prof. Beltrami colla Sua Signora, ed i di Lei colleghi di costì

mi creda, $\hbox {Ch}^{\underline{\mathrm{mo}}}$ Signor

Professore, di Lei dev$^{\underline{\mathrm{mo}}}$

S. Pincherle

Letter 8: Pincherle to Casorati.

Bologna, li 9 Gennajo 1886

$\hbox {Ch}^\mathrm{\underline{mo}}$ Signor Professore

Le accludo la nota relativa al teorema di Tannery, lasciandola giudice dell’opportunità di presentarla all’Istituto Lombardo. L’enunciato che ho dato è un po’ più generale di quello di Tannery, ed i coefficienti dell’equaz.[ione] differenziale possono anche essere f.[unzioni] polidrome di specie determinata (f.[unzione] uniforme d’un punto analitico) riguardando il campo $T$ come una superficie di Riemann ridotta, con tagli; semplicemente connessa.

Le spedisco pure, raccomandato, il volume degli Annali: la Memoria di Tannery, che ho letto in questa occasione, non mi è sembrata nulla di straordinario, una compilazione dei lavori di Fuchs fatta discretamente e nulla più. Non vi è di notevole che il Teorema che mi ha ispirato questa Nota.

La ringrazio nuovamente per il disturbo che Ella s’è preso di spedirmi il libro, e La prego di credermi sempre

il Suo dev.$^\mathrm{\underline{mo}}$ ed obblig$^\mathrm{\underline{mo}}$

S. Pincherle

Analisi: Sopra un teorema del Sig. Tannery

Scopo di questa breve Nota è di mostrare con una nuova applicazione, i vantaggi che può arrecare nello studio delle funzioni analitiche e del loro modo di comportarsi nell’intorno di punti determinati, il metodo ideato dal prof. Casorati ed esposto nella Sua Memoria: “Il calcolo delle differenze finite interpretato⁵⁰ ecc., Annali di Matematica, S.II, T. X.” Ne faccio qui l’applicazione alla dimostrazione di un teorema enunciato dal Sig. Tannery nella Memoria “Propriétés des intégrales des équations différentielles linéaires, Annales ce l’Ec. Normale, S. II, T. IV, p. 130;” teorema notevole per sé, e per una applicazione importante che ne ha fatto il Sig. Goursat.⁵¹

Il teorema è il seguente, sotto un enunciato un po’ modificato: “Siano $n$ funzioni analitiche $E_1, E_2,\ldots ,E_n$ a carattere regolare nell’intorno di ogni punto di un campo $T$ semplicemente connesso, eccettuati i punti $a_1, a_2,\ldots ,a_p$ in numero finito e fra le quali non passa alcuna relazione lineare a coefficienti costanti; se quando la variabile gira senza uscire dal campo $T$ intorno ad uno qualunque dei punti $a_1, a_2$,..$a_p$, i nuovi valori delle funzioni sono legati ai primitivi da relazioni lineari a coefficienti costanti, queste funzioni sono gl’integrali di un’equazione differenziale lineare a coefficienti monodromi in $T$.”

Infatti, formiamo la funzione $E$ i cui coefficienti $c$ siano costanti arbitrarie

$$\begin{aligned} E=c_1E_1+c_2E_2+\cdots +c_nE_n ; \end{aligned}$$

(1)

eseguendo colla variabile un giro intorno ad $a_1$, ed essendo $\theta$ l’operazione di Casorati, viene

$$\begin{aligned} \theta E=c_1\theta E_1+c_2\theta E_2+\cdots +c_n\theta E_n \end{aligned}$$

e per l’ipotesi fatta

$$\begin{aligned} \theta E=k_{1,1}E_1+k_{1,2}E_2+\cdots +k_{1,n}E_n; \end{aligned}$$

(2)

analogamente

$$\begin{aligned} \left\{ \begin{array}{l} \theta ^2 E=k_{2,1} E_1+k_{2,2} E_2+\cdots +k_{2,n} E_n,\\ \ldots \\ \theta ^n E=k_{n,1}E_1+k_{n,2} E_2+\cdots +k_{n,n} E_n; \end{array} \right. \end{aligned}$$

(3)

eliminando $1, E_1, E_2,\ldots ,E_n$ fra le (1), (2) e (3), viene una equazione

$$\begin{aligned} K_n\theta ^nE+K_{n-1}\theta ^{n-1}E+\cdots K_0E=0; \end{aligned}$$

ma questa (Casorati, loc. cit. §10) indica appunto che la $E$ soddisfa ad un’equazione differenziale lineare a coefficienti monodromi nell’intorno di $a_1$

$$\begin{aligned} \varphi _0 E^{(n)}+\varphi _1 E^{(n-1)}+\cdots +\varphi _n E=0, \end{aligned}$$

di cui $E$ è l’integrale generale. La stessa dimostrazione farà conoscere che $\varphi _0, \varphi _1,\ldots ,\varphi _n$ sono monodromi nell’intorno di $a_2, a_3,\ldots ,a_p$; onde il teorema è dimostrato.

Se il campo $T$ ricopre tutta la sfera una sol [sic!] volta, le funzioni $\varphi _0, \varphi _1,\ldots ,\varphi _n$ sono uniformi. Non è escluso che il campo $T$ possa essere una superficie di Riemann ridotta semplicemente connessa coi tagli opportuni; nel qual caso le $\varphi _0, \varphi _1,\ldots ,\varphi _n$ sarebbero funzioni uniforme [sic!] d’un punto analitico.

S. Pincherle

Letter 9: Pincherle to Casorati.

Bologna, li 27/2/86

Chiarissimo Signor Professore

Mi permetto di manifestarle di nuovo il mio compiacimento per aver potuto passare qualche ora nella Sua compagnia: e sono ben grato al prof. Maggi di avermi procurato col suo gentile invito l’occasione di quella visita che ho forse prolungata oltre i limiti della discretezza, ma che a me è sembrata troppo breve. Spero che nell’entrante Marzo Ella farà, come ci ha fatto sperare, la sua gita a Roma passando per Bologna e mi procurerà così il piacere di rivederLa.

Ho letto attentamente il paragrafo della Memoria di Tannery che Ella mi ha indicato, ma non ho potuto trovarvi una inesattezza. La dimostrazione è però redatta poco bene, e vi è un errore (di stampa probabilmente) alla linea 10 (p. 133) dove va letto $m$ invece di $m-1$.

Le rimando il volume degli Annales; ho copiato il paragrafo in discorso per cui, anche senza tenere più a lungo il volume presso di me, potrò ripensare meglio a quella dimostrazione: la quale si può forse redigere come ho tentato nel poscritto seguente.

I professori Boschi⁵², Villari⁵³ ed Arzelà mi hanno incaricato di contraccambiare i Suoi saluti; insieme a questi, accolga ch$^{\underline{\mathrm{mo}}}$ Professore, i saluti ed i sensi di affetto

del Suo dev$^{\underline{\mathrm{mo}}}$

S. Pincherle

La prego di riverire per me il prof. Beltrami

Tentativo di dimostrazione del teorema che ogni funzione algebrica soddisfa ad un [sic!] equaz.[ione] differenziale lineare.

Sia l’equaz[ione].

$$\begin{aligned} f(x,y)=0 \end{aligned}$$

(1)

e sia $\xi$ una funzione razionale di $x$ ed $y$, la quale come è noto, si può scrivere:

$$\begin{aligned} \xi =a_{0,0}+a_{0,1}y +a_{0,2}y^2+\cdots +a_{0,n-1}y^{n-1} \end{aligned}$$

(2)

dove le $a_{h,k}$ sono funzioni razionali di $x$. Si ha dalla (1)

$$\begin{aligned} \frac{\partial f}{\partial x}+\frac{\partial f}{\partial y}y'=0, \end{aligned}$$

(3)

onde $y'$ è una funzione della forma (2). Ora derivando la (2), viene ponendo per $y$ il suo valore dalla (3):

$$\begin{aligned} \left\{ \begin{array}{l} \frac{{\mathrm d}\xi }{{\mathrm d}x}=a_{1,0}+a_{1,1}y+\cdots + a_{1,n-1}y^{n-1} \\ \\ \frac{{\mathrm d}^2\xi }{{\mathrm d}x^2}=a_{2,0}+a_{2,1}y+\cdots +a_{2,n-1}y^{n-1} \\ \\ \ldots \\ \\ \frac{{\mathrm d}^n\xi }{{\mathrm d}x^n}=a_{n,0}+a_{n,1}y+\cdots + a_{n,n-1}y^{n-1}: \end{array} \right. \end{aligned}$$

(4)

e moltiplicando le (2) e (4) per i reciproci della prima colonna del determinante

$$\begin{aligned} \left| \begin{array}{c@{\quad }c@{\quad }c@{\quad }c@{\quad }c} 1 &{} a_{0,0} &{} a_{0,1} &{}\dots &{} a_{0,n-1} \\ 1 &{} a_{1,0} &{} a_{0,1} &{}\dots &{} a_{1,n-1} \\ \dots &{} \dots &{} \dots &{}\dots &{} \dots \\ 1 &{} a_{n,0} &{} a_{n,1} &{}\dots &{} a_{n,n-1} \end{array} \right| \end{aligned}$$

supposto diverso da zero, viene un’eq.[uazione] della forma

$$\begin{aligned} A_0\xi +A_1\frac{{\mathrm d}\xi }{{\mathrm d}x}\dots A_n\frac{{\mathrm d}^n\xi }{{\mathrm d}x^n}=0. \end{aligned}$$

Nel caso speciale che la $\xi$ sia la stessa $y$, viene l’equaz.[ione] di Tannery.⁵⁴

Letter 10: Casorati to Pincherle.

Pavia, 10 marzo 1886

Caro Pincherle

............................................

Di matematica non dovrei scrivere nulla, perché non ho la testa a posto. Nondimeno osserverò, rispetto alla dimostrazione del Tannery che l’errore di stampa ($m-1$ invece di $m$) della linea 10 di p. 133 (dove parmi eziandio doversi leggere $y^0$ insieme con $y^2, y^3,\ldots ,y^{m-1}$) non costituisca il difetto a cui io alludevo. Questo difetto si riferisce, se la memoria non m’inganna, alle linee 12 e 13.

Prendiamo il caso di $m=2$.

$$\begin{aligned}&f(x,y)=ay^2+by+c,\\&\varphi (x)=ac-b^2=(ay^2+2by+c) \times a +(2ay+2b)\left( -\frac{a}{2}y-\frac{b}{2}\right) \\&\frac{{\mathrm d}y}{{\mathrm d}x}=\frac{\alpha y+\beta }{a{\varphi }(x)},\quad \frac{{\mathrm d}^2y}{{\mathrm d}x^2}=\frac{\gamma y+\delta }{a^2{\varphi }^2} \end{aligned}$$

dove $\alpha , \beta , \gamma , \delta$ sono funzioni intere di $a, b, c$ e loro derivate $1^\mathrm{e}$ e $2^\mathrm{e}$. L’eliminazione di $y^0$ fra queste espressioni dà

$$\begin{aligned} \beta \frac{{\mathrm d}^2y}{{\mathrm d}x^2}-\frac{\delta }{a{\varphi }}\frac{{\mathrm d}y}{{\mathrm d}x}+\frac{\alpha \delta -\beta \gamma }{a^2{\varphi }^2}y=0\,; \end{aligned}$$

ma non è così visibile, come dice Tannery, che pure supponendo $a$ costante si possa ritenere costante il coeff[iciente]. di $\frac{{\mathrm d}^2y}{{\mathrm d}x^2}$, che Tannery riduce ad 1.⁵⁵

Sono il suo aff.$^{\underline{\mathrm{mo}}}$ F.C.

Letter 11: Pincherle to Casorati.

Bologna, 15/5/86

Chiarissimo Sig. Professore

Eccomi ancora una volta a ricorrere alla di Lei gentilezza. Nel continuare le mie ricerche sulle operazioni funzionali rappresentabili da integrali definiti, ricerche di cui la prima parte è in corso di stampa, mi si è presentata una famiglia di trasformazioni, che credo nuova e che permette di passare da qualunque equazione lineare differenziale a coefficienti razionali, in una equazione di forma simile alle differenze finite. Prendo la libertà di unirle una breve nota⁵⁶ in proposito e Le sarei gratissimo se Ella volesse gettarvi un’occhiata. Nel caso poi che questo risultato Le sembrasse nuovo e degno d’interesse, ed ove ciò non dovesse recarle disturbo, sarei ben lieto se Ella si compiacesse di presentarla sia all’Istituto Lombardo, sia ai Lincei.

[$\ldots$]

Nella speranza che ella vorrà perdonare il nuovo disturbo che le reco, e pregandola di salutare per me i Sig. professori Beltrami e Bertini, La prego, $\hbox {ch}^\mathrm{\underline{mo}}$ sig. professore, di credere ai sensi di profondo rispetto e di vivo affetto del Suo $\hbox {dev}^\mathrm{\underline{mo}}$

S. Pincherle

Possiamo sperare di vedere fra poco un ampliamento ed un seguito delle Sue ricerche sulle funzioni a più di due periodi?

Letter 12: Pincherle to Casorati.

Bologna, 14/6/86.

Chiarissimo Signor Professore.

La ringrazio vivamente per la premura che Ella si è data circa alla mia nota sulle equazioni differenziali, e sono lieto che Le sia sembrata interessante. Ciò che mi ha spinto a redigerla è stato il vedere che il Sig. Mellin, nell’ultimo fascicolo degli Acta pubblicò un teorema che è un caso molto, ma molto particolare della trasformazione che ho indicata.

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Suo S. Pincherle