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Deux modèles de population dans un environnement périodique lent ou rapide

  • Nicolas BacaërEmail author
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Abstract

Two problems in population dynamics are addressed in a slow or rapid periodic environment. We first obtain a Taylor expansion for the probability of non-extinction of a supercriticial linear birth-and-death process with periodic coefficients when the period is large or small. If the birth rate is lower than the mortality for part of the period and the period tends to infinity, then the probability of non-extinction tends to a discontinuous limit related to a “canard” in a slow-fast system. Secondly, a nonlinear S-I-R epidemic model is studied when the contact rate fluctuates rapidly. The final size of the epidemic is close to that obtained by replacing the contact rate with its average. An approximation of the correction can be calculated analytically when the basic reproduction number of the epidemic is close to 1. The correction term, which can be either positive or negative, is proportional to both the period of oscillations and the initial fraction of infected people.

Keywords

Periodic environment Birth-and-death process S-I-R epidemic Averaging 

Résumé

On aborde deux problèmes en dynamique des populations dans un environnement périodique lent ou rapide. Dans un premier temps, on obtient un développement limité pour la probabilité de non-extinction d’un processus linéaire de naissance et de mort surcritique à coefficients périodiques lorsque la période est grande ou petite. Si le taux de naissance est inférieur à la mortalité pendant une partie de la période et si la période tend vers l’infini, alors la probabilité de non-extinction tend vers une limite discontinue liée à un « canard » dans un système lent-rapide. Dans un deuxième temps, on étudie un modèle épidémique non linéaire de type S-I-R lorsque le taux de contact oscille rapidement. La taille finale de l’épidémie est proche de celle que l’on obtient en remplaçant le taux de contact par sa moyenne. Une approximation de la correction peut être calculée analytiquement lorsque la reproductivité de l’épidémie est proche de 1. La correction, qui peut être positive ou négative, est proportionnelle à la fois à la période des oscillations et à la fraction initiale de personnes infectées.

Mathematics Subject Classification

60G35 92D25 

Notes

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Copyright information

© Springer-Verlag GmbH Germany, part of Springer Nature 2019

Authors and Affiliations

  1. 1.Institut de recherche pour le développementUnité de modélisation mathématique et informatique des systèmes complexes, Les CordeliersParisFrance

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