Journal of Geometry

, 110:14 | Cite as

The Thomsen–Bachmann correspondence in metric geometry II

  • Rolf StruveEmail author
  • Horst Struve


We continue the investigations of the Thomsen–Bachmann correspondence between metric geometries and groups, which is often summarized by the phrase ‘Geometry can be formulated in the group of motions’. In the first part (H. Struve and R. Struve in J Geom, 2019. of this paper it was shown that the Thomsen–Bachmann correspondence can be precisely stated in a framework of first-order logic. We now prove that the correspondence, which was established by Thomsen and Bachmann for Euclidean and for plane absolute geometry, holds also for Hjelmslev geometries, Cayley–Klein geometries, isotropic and equiform geometries, and that these geometries and the theory of their group of motions are mutually faithfully interpretable (and bi-interpretable, but not definitionally equivalent). Hence a reflection-geometric axiomatization of a class of motion groups corresponds to an elementary axiomatization of the underlying geometry and provides with the calculus of reflections a powerful proof method.


Thomsen–Bachmann correspondence calculus of reflections reflection group Bachmann group absolute geometry Cayley–Klein geometries symmetric space sentential equivalence bi-interpretability 

Mathematics Subject Classification

03B30 51F05 51F15 



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Copyright information

© Springer Nature Switzerland AG 2019

Authors and Affiliations

  1. 1.BochumGermany
  2. 2.Seminar für Mathematik und ihre DidaktikUniversität zu KölnCologneGermany

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