Advertisement

Journal of Geometry

, 110:14 | Cite as

The Thomsen–Bachmann correspondence in metric geometry II

  • Rolf StruveEmail author
  • Horst Struve
Article

Abstract

We continue the investigations of the Thomsen–Bachmann correspondence between metric geometries and groups, which is often summarized by the phrase ‘Geometry can be formulated in the group of motions’. In the first part (H. Struve and R. Struve in J Geom, 2019.  https://doi.org/10.1007/s00022-018-0465-8) of this paper it was shown that the Thomsen–Bachmann correspondence can be precisely stated in a framework of first-order logic. We now prove that the correspondence, which was established by Thomsen and Bachmann for Euclidean and for plane absolute geometry, holds also for Hjelmslev geometries, Cayley–Klein geometries, isotropic and equiform geometries, and that these geometries and the theory of their group of motions are mutually faithfully interpretable (and bi-interpretable, but not definitionally equivalent). Hence a reflection-geometric axiomatization of a class of motion groups corresponds to an elementary axiomatization of the underlying geometry and provides with the calculus of reflections a powerful proof method.

Keywords

Thomsen–Bachmann correspondence calculus of reflections reflection group Bachmann group absolute geometry Cayley–Klein geometries symmetric space sentential equivalence bi-interpretability 

Mathematics Subject Classification

03B30 51F05 51F15 

Notes

References

  1. 1.
    Bachmann, F.: Zur Begründung der Geometrie aus dem Spiegelungsbegriff. Math. Ann. 123, 341–344 (1951)MathSciNetCrossRefGoogle Scholar
  2. 2.
    Bachmann, F.: Axiomatischer Aufbau der ebenen absoluten Geometrie. In: Henkin, L., Suppes, P., Tarski, A. (eds.) The Axiomatic Method, pp. 114–126. North-Holland, Amsterdam (1959)Google Scholar
  3. 3.
    Bachmann, F.: Hjelmslev planes. Atti del Convegno di Geometria Combinatoria e sue Applcazioni, Perugia, 43–56 (1970)Google Scholar
  4. 4.
    Bachmann, F.: Aufbau der Geometrie aus dem Spiegelungsbegriff, 2nd edn. Springer, Heidelberg (1973)CrossRefGoogle Scholar
  5. 5.
    Bachmann, F., Knüppel, F.: Starrheit in der Geometrie involutorischer Gruppenelemente. Arch. Math. 35, 155–163 (1980)MathSciNetCrossRefGoogle Scholar
  6. 6.
    Bachmann, F.: Ebene Spiegelungsgeometrie. BI-Verlag, Mannheim (1989)zbMATHGoogle Scholar
  7. 7.
    Behnke, H., Bachmann, F., et al.: Fundamentals of Mathematics, vol. II, Geometry. MIT Press, London (1974)Google Scholar
  8. 8.
    de Bouvère, K.L.: Logical synonymity. Indag. Math. 27, 622–629 (1965)MathSciNetCrossRefGoogle Scholar
  9. 9.
    Button, T., Hodge, W., Walsh, S.: Philosophy and Model Theory. Oxford University Press, Oxford (2018)CrossRefGoogle Scholar
  10. 10.
    Cayley, A.: A sixth memoir upon quantics. Philos. Trans. R. Soc. Lond. 149, 61–90 (1859). (cp. Collected Math. Papers, Vol. 2, Cambridge (1889))CrossRefGoogle Scholar
  11. 11.
    Giering, O.: Vorlesungen über höhere Geometrie. Vieweg, Braunschweig (1982)CrossRefGoogle Scholar
  12. 12.
    Hartshorne, R.: Geometry: Euclid and Beyond. Springer, Heidelberg (2000)CrossRefGoogle Scholar
  13. 13.
    Hilbert, D.: Grundlagen der Geometrie. Leipzig, Teubner (1899). Translated by Unger, L., under the title: Foundations of Geometry. Open Court, La Salle, IL (1971)Google Scholar
  14. 14.
    Hjelmslev, J.: Die natürliche geometrie. Hamb. Math. Einzelschriften. vol. 1 (1923)MathSciNetCrossRefGoogle Scholar
  15. 15.
    Hjelmslev, J.: Einleitung in die allgemeine Kongruenzlehre. Danske Vid. Selsk. mat-fys. Medd. 8, Nr. 11 (1929); 10, Nr. 1 (1929); 19, Nr. 12 (1942); 22, Nr. 6, Nr. 13 (1945); 25, Nr.10 (1949)Google Scholar
  16. 16.
    Karzel, H., Kroll, H.-J.: Geschichte der Geometrie seit Hilbert. Wissenschaft-liche Buchgesellschaft, Darmstadt (1988)zbMATHGoogle Scholar
  17. 17.
    Karzel, H.: Gruppentheoretische Begründung der absoluten Geometrie mit abgeschwächtem Dreispiegelungssatz. Habilitation, Hamburg (1956)Google Scholar
  18. 18.
    Klein, F.: Vorlesungen über nicht-euklidische Geometrie. Springer, Berlin (1928)zbMATHGoogle Scholar
  19. 19.
    Klingenberg, W.: Euklidische Ebenen mit Nachbarelementen. Math. Z. 61, 1–25 (1954)MathSciNetCrossRefGoogle Scholar
  20. 20.
    Lingenberg, R.: Metric Planes and Metric Vector Spaces. Wiley, New York (1979)zbMATHGoogle Scholar
  21. 21.
    Müller, H.: Zur Begründung der ebenen absoluten Geometrie aus Bewegungs-axiomen. Dissertation, TU München, München (1966)Google Scholar
  22. 22.
    Pambuccian, V.: Fragments of Euclidean and hyperbolic geometry. Sci. Math. Jpn. 53, 361–400 (2001)MathSciNetzbMATHGoogle Scholar
  23. 23.
    Pambuccian, V.: Constructive axiomatization of non-elliptic metric planes. Bull. Pol. Acad. Sci. Math. 51, 49–57 (2003)MathSciNetzbMATHGoogle Scholar
  24. 24.
    Pambuccian, V.: Groups and plane geometry. Studia Log. 81, 387–398 (2005)MathSciNetCrossRefGoogle Scholar
  25. 25.
    Pambuccian, V.: Axiomatizations of hyperbolic and absolute geometries. In: Prékopa, A., Molnár, E. (eds.) Non-Euclidean Geometries: Janos Bolyai Memorial Volume, pp. 119–153. Springer, New York (2006)Google Scholar
  26. 26.
    Pambuccian, V.: Orthogonality as single primitive notion for metric planes. With an appendix by H. and R. Struve. Beitr. Algebra Geom. 48, 399–409 (2007)zbMATHGoogle Scholar
  27. 27.
    Prusińska, A., Szczerba, L.: Geometry as an extension of the group theory. Log. Log. Philos. 10, 131–135 (2002)MathSciNetCrossRefGoogle Scholar
  28. 28.
    Schmidt, A.: Die Dualität von Inzidenz und Senkrechtstehen in der absoluten Geometrie. Math. Ann. 118, 609–625 (1943)MathSciNetCrossRefGoogle Scholar
  29. 29.
    Schütte, K.: Gruppentheoretisches Axiomensystem einer verallgemeinerten euklidischen Geometrie. Math. Ann. 132, 43–62 (1956)MathSciNetCrossRefGoogle Scholar
  30. 30.
    Snapper, E., Troyer, R.J.: Metric Affine Geometry. Dover Publications, New York (1971)zbMATHGoogle Scholar
  31. 31.
    Sörensen, K.: Ebenen mit Kongruenz. J. Geom. 22, 15–30 (1984)MathSciNetCrossRefGoogle Scholar
  32. 32.
    Sperner, E.: Ein gruppentheoretischer Beweis des Satzes von Desargues in der absoluten Axiomatik. Arch. Math. 5, 458–468 (1954)MathSciNetCrossRefGoogle Scholar
  33. 33.
    Struve, H.: Singulär projektiv-metrische und Hjelmslevsche Geometrie. Diss. Univ. Kiel (1979)Google Scholar
  34. 34.
    Struve, H., Struve, R.: Non-euclidean geometries: the Cayley–Klein approach. J. Geom. 98, 151–170 (2010)MathSciNetCrossRefGoogle Scholar
  35. 35.
    Struve, R.: An axiomatic foundation of Cayley–Klein geometries. J. Geom. 107, 225–248 (2016)MathSciNetCrossRefGoogle Scholar
  36. 36.
    Struve, R., Struve, H.: The Thomsen–Bachmann correspondence in metric geometry I. J. Geom. (2019).  https://doi.org/10.1007/s00022-018-0465-8 MathSciNetCrossRefzbMATHGoogle Scholar
  37. 37.
    Tarski, A.: Einige methodologische Untersuchungen über die Definierbarkeit der Begriffe. Erkenntnis 5, 80–100 (1935)CrossRefGoogle Scholar
  38. 38.
    Thomsen, G.: Grundlagen der Elementargeometrie in gruppenalgebraischer Behandlung. Hamburger Math. Einzeilschr. 15, Teubner, Leipzig (1933)Google Scholar
  39. 39.
    Yaglom, I.M.: A Simple Non-Euclidean Geometry and Its Physical Basis. Springer, Heidelberg (1979)zbMATHGoogle Scholar

Copyright information

© Springer Nature Switzerland AG 2019

Authors and Affiliations

  1. 1.BochumGermany
  2. 2.Seminar für Mathematik und ihre DidaktikUniversität zu KölnCologneGermany

Personalised recommendations