Zyklische kubische monogene Erweiterungen der ganzalgebraischen Zahlen eines quadratischen Körpers

Abstract.

D'après [6] et [7] l'anneau des entiers du corps quadratique \({\bf Q}(\sqrt {d}), d \not = -3\), possède une extension cyclique cubique monogène (de discriminant 1) si, et seulement si, l'équation diophantienne¶¶\(4m^3 = y^2d + 27 \) a une solution avec \(d \not \equiv 21\) (mod 36) et \(m \not \equiv 3\) (mod 9).¶¶ On démontre ici que pour qu'une telle extension existe il faut que 3 divise h (d) et, lorsque \(d \equiv 1\) (mod 8), d'où\((2) = \frak p_1\frak p_2\) où\(\frak p_1\) et \(\frak p_2\) sont deux idéaux premiers distincts de A_d, que la classe \([\frak p_1]\) de \(\frak p_1\) dans le groupe de classes de \({\bf Q}(\sqrt {d})\) ne soit pas un cube. Pour \(|d| \) < 100'000 cela élimine 68,37 % des valeurs restantes, les valeurs éliminées passent ainsi de 90 à 97 %.¶ De plus d ne doit pas être de la forme pq ou –3 pq pour lesquels le symbole d'Aigner \(T(p \star q)\) vale –1. L'article comporte aussi deux corrections, des résultats complétant [6] et [7], parus dans une thèse, et d'autres (en particulier l'indépendance des critères et des résultats numériques) parus ailleurs.