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Geometrie auf transzendenten Kurven

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References

  1. 1)

    Man sehe hierüber:a) den Bericht vonA. Brill undM. Noether,Die Entwicklung der Theorie der algebraischen Funktionen in älterer und neuerer Zeit [Jahresbericht der deutschen Mathematiker Vereinigung, Bd. III (1894), S. 107–566];b) die autographierte Vorlesung von F. Klein über Riemann’scheFlächen (Göttingen, 1892–1893), Bd. I, Il;c) die autographierte Vorlesung vonF. Severi,Lezioni di Geometria algebrica (Padova, Draghi, 1908); dieselbe erscheint als Buch in deutscher Uebertragung vonLöffler mit einem Vorwort vonA. Brill bei B. G. Teubner, Leipzig, 1921.

  2. 2)

    B. Riemann,Zwei allgemeine Säte über lineare Differentialgleichungen mit algebraischen Koeffitienten (Ges. Werke. 2. Aufl. Leipzig 1892), S. 379–390.

  3. 3)

    Vgl. hiezuF. Klein, a. a. O. 1), S. 88 ff.

  4. 4)

    A. Clebsch,Ueber die Anwendung der Abelschen Functionen in der Geometrie [Journal für die reine und angewandte Mathematik, Bd. LXIII (1864), S. 189–243] sowie mehrere Abhandlungen ebenda, Bd. LXIV (1865).

  5. 5)

    A. Brill undM. Noether,Ueber die algebraischen Funktionen und ihre Anwendung in der Geometrie [Mathematische Annalen, Bd. VII (1874), S. 269–310], S. 292.

  6. 6)

    Vielleicht wird man das Letzte auch als willkommene Ergänzung zu dem Bericht vonE. Noether nehmen:Die arithmetische Theorie der algebraischen Funktionen einer Veränderlichen, in ihrer Beziehung zu den übrigen Theorien und der Zahlkörpertheorie. [Jahresbericht der deutschen Math. Vereinigung. Bd. XXVIII (1920), S. 182–203].

  7. 7)

    S. die Arbeiten des Verf.I. Riemann’sche Funktionen-und Differentialsysteme in der Ebene. [Journal für die reine und angewandte Mathematik. Bd. 148 (1918), S. 146–182]; II.Die Charakterisierung der Riemann’schen Transzendenten und andere Theoreme. [Jahresbericht der deutschen Math. Vereinigung. Bd. 26 (1918), S. 252–274]; III.Die Elementartheoreme bei den Riemann’schen Transzendenten. [Math. Zeitschrift 1922], IV.Neue Beiträge zur Charakterisierung der Riemann’schen Transzendenzen. [Jahresbericht der deutschen Math. Vereinigung. Bd. 27 (1918), S. 126–141]; V.Die Reduktions-und Reziprozitätstheoreme bei den Riemann’schen Transzendenten [Mathematische Annalen. Bd. 79 (1918), S. 76–135]. Sämtlich im Folgenden zitiert mit K. I-V.

  8. 8)

    Der Einfachheit halber soll angenommen werden, dass logarithmische Glieder fehlen; die allgemeine Theorie ist aber auch für diesen Fall entwickelt [s. K. I, a. a. O. 7)].

  9. 10)

    S. hiezu K. I. § 1, 2 oder K. V. § 1, a. a. O. 7).

  10. 13)

    Wegen der Ausnahmelemente s. jedoch K. V., a. a. O. 7), § 1. S. 84.

  11. 14)

    S. hiezu und für die folgenden Begriffe K. I. oder K. V. § 1, 2.

  12. 15)

    Des Genaueren sehe man diesen Begriff, besonders was die Stellen a und die Differentiale anlangt, in K. I., a. a. O. 7), § 10, § 13, auch kurz inK. V. § 2.

  13. 16)

    Diese Aufgabe wurde in K. I., a. a. 0. 7), § 10 arithmetisch gelöst.

  14. 18)

    S. K. IL, a. a. 0. 7), § 3.

  15. 22)

    S. die oben zitierte Arbeit vonBrill undNoether, a. a. O. 5), § 9; dazu auch die oben zitierte Vorlesung vonF. Klein, a. a. O. 1), 6), Bd. II, S. 114 ff.

  16. 23)

    S. ausser der eben genannten Arbeit vonBrill-Noether a. a. O. 5), auchE. Bertini,La geometria delle serie lineari sopra una curva piana secondo il metodo algebrico [Annali di Matematica pura ed applicata, série II, t. XXII (1894), pp. 1–40] undC. Segre,Introduzione alla geometria sopra un ente algebrico semplicemente infinite [ebenda, pp. 41–142].

  17. 24)

    S. K. I., a. a. O. 7), § 14.

  18. 25)

    S. K. I., a. a. 0. 7), S. 176.

  19. 28)

    S. K. IL, a. a. O. 7).

  20. 29)

    S. auch K. III. oder K. V. §§ 3, 4, 5., a. a. O. 7).

  21. 30)

    S. K. IV., a. a. O. 7).

  22. 32)

    S. K. IV. S. 134, oder K. V. S. 126/7, a. a. O. 7).

  23. 33)

    S. K. IV. § 8.

  24. 34)

    On the Classification of Loci (Mathematical Papers, London 1882), p. 305 ff.

  25. 35)

    S. a. a. O. 34), S. 307. Theorem A

  26. 36)

    a. a. O. 34), S. 529.

  27. 37)

    S. Clifford, a. a. O. 34), s. 310.

  28. 38)

    Ebenda S. 314 ff.

  29. 39)

    Von grossem Interesse wäre es, drittens einen Satz zu haben, welcher den Grad limitiert, wie die beiden obigen Dimension und Geschlecht und welcher das Analogon wäre zu dem Satz von Clifford [S. Clifford, a. a. O. 34), S. 329,Severi, a. a. O. 1),c), S. 128,Bertini, a. a. O. 23), S. 26,Segre, a. a. O. a3), S. 77]: «Wenn309-01 eine Spezialschar ist, so gilt die Ungleichung 309-02. Übrigens finden sich die nachClifford benannten Sätze bereits in den Arbeiten vonBrill undNoethbr, a. a. O. 5).

  30. 40)

    S. die ausführliche Darstellung in K. I. a. a. O. 7), III. Abschnitt.

  31. 41)

    S. K. II. a. a. 0. 7), wo 2 «Lückentheoreme» für eine beliebige Klasse bewiesenwerden.

  32. 42)

    S. E. Pascal,Repertoriant der höheren Mathematik, Bd. II. 1. (Leipzig, Teubner, 1910).

  33. 43)

    S. Severi, a. a O. 1), c), 4. Kap.

  34. 44)

    Vgl.K. Hensel,Ueber die Invarianten algebraischer Körper [Journal für die reine und angewandt Mathematik. Bd. 149 (1919), S 125–146]. Mit den daselbst gebrauchten Methoden ist auch der folgende Satz sofort zu beweisen, was ich hier deshalb übergehe

  35. 45)

    S. Brill-Noether, a. a. O. 5), S. 292.

  36. 46)

    Vgl. für die geometrisch-arithmetische Theorie auch das Werk vonK. Hensel undG. Landsberg,Theorie der algebraischen Funktionen einer Variabein und ihre Anwendung auf algebraische Kurven und Abelsche Integrale [Leipzig, Teubner, 1902].

  37. 47)

    S. die Arbeiten des Verfassers:Die Reduktions-und Reziprozitätstheoreme beiden Riemann’schen Transzendenten [Mathematische Annalen, Bd. 79 (1918), S. 76–135];Die Integrale der Riemann’schen Transzendenten [Mathematische Annalen, Bd. 80 (1919), S. 1–28].

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König, R. Geometrie auf transzendenten Kurven. Rend. Circ. Matem. Palermo 45, 284–312 (1921). https://doi.org/10.1007/BF03018144

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