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Bestimmung aller normalflächen mit transitiven automorphen gruppen von projectiven transformationen

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References

  1. 1)

    d. h. eine solche, bei welcher 2 der Fiàche angehörende Punkte allgemeiner Lage stets ineinander übergeführt werden können.

  2. 2)

    Fano,Kontinuierliche geometrische Gruppen. Die Gruppentheorie als geometrisches Einteilungsprinzip. [Encyclopàdie der Mathematischen Wissenschaften, III, 1, S. 289–388], S. 307.

  3. 3)

    Enriques,Sui gruppi continui di trasformazioni cremoniane nel piano [Rendiconti della R. Accademia dei Lincei, Bd. II, i. Semester 1893, S. 468–473].

  4. 4)

    Fano, loc. cit.2), S. 342.

  5. 5)

    Fano,Sulle superficie algebriche con un gruppo continuo transitivo di trasformazioni projettive in sè [Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo, Bd. X (1896), S. 1–15].

  6. 6)

    Bekanntlich heisst einealgebraische in einem Rn, aber keinem Rm (M<N) enthaltene Mannigfaltigkeitnormal, wenn sie nicht als Projection einer erst in einem Ro (O>N) gelegenen Mannigfaltigkeitderselben Ordnung aufgefasst werden kann. Vergi.: Clifford,On the Classification of Loci [Philosophical Transactions, Bd. CLX1X (1878), S. 663–681. —Mathematical Papers, S. 305 ssq.].

  7. 7)

    Dass diese Flächen Normalflächen sind, folgt unmittelbar daraus, dass jede nicht geradlinige F3 2 einem R, angehört Del Pezzo,Intorno ai una proprietà fondamentale ielle superficie e ielle varietà immerse negli spazi a piùdimensioni [Rendiconto della R. Accademia delle Scienze Fisiche e Matematiche (Napoli), Ser. II, Bd. I (1887), S. 40–43], kann aber auch daraus gefolgert werden, dass das System der ebenen Schnittcurven der F3 2 (wie jeder Flàche F2 des R3 ohne Doppelcurve)normal oder complet in Bezug auf den Grad des Systems ist [Vergi. Picard et Smart,Théorie des fonctions algébriques de deux variables indépendantes (Paris, Gauthier-Villars), Bd. II (1906), S. 103].

  8. 8)

    Die Coordinateti 1. Art sind dieselben, deren ich mich schon zur Untersuchung der Structur der JoNQUièREs’schen Gruppen bedient habe. Vergi, meine Arbeit: Überdie automorphe Collineationsgruppe des rationalen Normalkegels n. Ordnung [Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo, Bd. XXXI (1. Semester 1911), S. 170–200].

  9. 9)

    Study: a)Geometrie der Dynamen (Leipzig, Teubner, 1903), S. 288 und S. 309;b) Die Elemente zweiter Ordnung in der tienen projektiven Geometrie [Berichte über die Verhandlungen der Kgl. Sächsischen Gesellschaft der Wissenschaften zu Leipzig, Mathematisch-Physische Klasse, Bd. LIU (1901), S. 338–403], S. 380.

  10. 10)

    Vergi.,Study, loc. cit. 9), a), § 27; Study, loc. cit.9), b); Fano, loc. cit.2), S. 323, S. 332 ff.; und Blaschke,Untersuchungen über die Geometrie der Speere in der EuKLidischen Ebene [Monatshefte fur Mathematik und Physik, XXI. Jahrgang (1910), S. 3–60], S. 49, S. 52.

  11. 12)

    Die Reductionen für diese Singularitàten lassen sich genau so begründen, wie die entsprechenden Reductionen in den PLüCKER’schen Formeln. Sie lassen sich aber auch unmittelbar der an anderer Stelle besprochenen Abbildung des Kegels auf eine Ebene zufolge auf diese zurückführen.

  12. 13)

    Vergi.Study,Methoden zur Theorie der ternàren Formen (Leipzig, Teubner, 1889), § 10 und 11.

  13. 14)

    Es wird vielmehr überhaupt keine bei den Transformationen von g, invariante Mannigfaltigkeit in einem linearen Raume von weniger als n-Dimensionen enthalten sein.

  14. 15)

    Vergi.Lie-Engel,Theorie der Transformationsgruppen (Leipzig, Teubner), Bd. III (1893), S. 187, 758, 785.

  15. 16)

    Betrachten wir den Rn xo = o als « unendlichfernen » Rn des Rn+1 in dem der Kn 2 liegt, so ist diese Gruppe der Durchschnitt der Gn+5 mit der affinen Gruppe des Rn+1.

  16. 17)

    Diese Fiàchen sind derallgemeinen projectiven Gruppe der Ebene zugeordnet. Vergi. § 6 dieser Arbeit.

  17. 18)

    Nämlich mit Hülfe des Kunstgriffs, die allgemeine Substitution der Gruppe als Produkt zweier in Bezug auf die Darstellung spezialisierter Transformationen aufzufassen.

  18. 19)

    Vergi. §§ 5 und 8 vorliegender Arbeit.

  19. 20)

    Was sich auf Grund der Ausführungen des § 8 übrigens von selbst versteht.

  20. 24)

    Vergl.Lie-Engel, loc. cit.15), Bd. III (1893), S. 788, wo über (ungedruckte) Arbeiten von Herrn Study berichtet wird. Die dort angegebene Zahl für die Ordnung O der in Frage stehenden Flächen stimmt, wie leicht ersichtlich mit der unsrigen überein (§ 5). Dagegen ist die (ebenfalls ohne Beweis) mitgeteilte Stufenzahl N (die um I vermehrte Dimensionszahl) des Raumes niedrigster Dimension, in welchem die Flächen enthalten sind, verdruckt. Aus den STUDY’schen Überlegungen folgt unschwer, dass diese Zahl, in Übereinstimmung mit unseren Ergebnissen, in der STUDY’schen Bezeichnung die Form

  21. 25)

    Vergl.Lie-Engel, loc. cit.15), Bd. III (1893), S. 786 (Study).

  22. 26)

    Cayley,On the Curves which satisfy given Conditions [Philosophical Transactions of the Royal Society of London, Bd. CLVIII (1868), S. 75–143;The Collected Mathematical Papers (Cambridge, University Press), Bd. VI (1893), S. 191–262]; Veronese,La superficie omaloide normale a due dimensioni e del quarto ordine dello spazio a cinque dimensioni e le sue projezioni nel piano e nello spazio ordinario [Atti della R. Accademia dei Lincei, Ser. III, Memorie della Classe di Scienze Fisiche, Matematiche e Naturali, Bd. XIX (1884), S. 344–371]; Segre,Considerazioni intorno alla geometria delle coniche di un piano e alla sua rappresentazione sulla geometria dei complessi lineari di rette [Atti della R. Accademia delle Scienze di Torino, Bd. XX (1884–85), S. 487–504]; Study,Ueber die Geometrie der Kegelschnitte,insbesondere deren Charakteristikenproblem [Mathematische Annalen, Bd. XXVII (1886), S. 58–101]; Picard-simart, loc Cit.7), Bd. II (l906), S. 104.

  23. 27)

    Vergi.Lie-Engel, loc. cit.15), Bd. III (1893), S. 787 (Study).

  24. 28)

    Vergi, die Einleitung zu vorliegender Arbeit.

  25. 29)

    Vergl, den Schluss des 2. Paragraphen vorl. Arb.

  26. 30)

    So weit diese nicht alien Curven der Gattung [α, β] gemeinsam sind, eine Einschränkung, die natürlich nur für die Flächen der II. Klasse in Frage kommt.

  27. 31)

    Für die Curven auf den Flächen der IV. Klasse ist also β’ stets = ozu setzen.

  28. 33)

    So weit diese nicht alien Curven der Gattungen [α, β] und [α, β] gemeinsam angehören [siehe Anm.30)].

  29. 33)

    Vgl.H. Beck,Eine neue Liniengeometrie in der Ebene [Zeitschrift für mathematischen und naturwissenschaftlichen Unterricht, XL. Jahrgang (1909), S. 129–136].

  30. 34)

    Siehe Study, loc. cit.9), a), S. 302 ff.

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Mohrmann, H. Bestimmung aller normalflächen mit transitiven automorphen gruppen von projectiven transformationen. Rend. Circ. Matem. Palermo 32, 158–187 (1911). https://doi.org/10.1007/BF03014792

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