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On discretization in generalized rational approximation

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Zusammenfassung

In dieser Arbeit wird das Problem der verallgemeinerten rationalen Approximation auf einem kompakten metrischen RaumT betrachtet, wobei die Nennerfunktionen durch eine positive Konstante nach unten beschränkt angenommen werden. Es wird gezeigt, daß bei Diskretisierung des Problems, d. h. bei Ersetzung vonT durch eine gegenT konvergierende Folge {T m } endlicher TeilmengenT m die Minimalabweichungen der zugehörigen diskreten Probleme gegen die des Ausgangsproblems konvergieren und daß eine Teilfolge von diskreten Minimallösungen existiert, die gleichmäßig gegen eine Minimallösung des Ausgangsproblems konvergiert. Ist dieses eindeutig lösbar, so liegt gleichmäßige Konvergenz einer jeden Folge von diskreten Minimallösungen gegen die Lösung des Ausgangsproblems vor.

Summary

In this paper we consider the problem of generalized rational approximation on a compact metric spaceT where we assume the denominators to be uniformly bounded from below by a positive constant. We show that, if we discretize the problem, i. e. replaceT by a sequence {T m } of finite subsetsT m ofT converging toT, then the corresponding discrete minimal distances converge to the minimal distance of the given problem and there is a subsequence of discrete best approximants which converges uniformly to the solution of the initial problem. If this is uniquely solvable, then each sequence of discrete best approximants converges uniformly to the solution of the initial problem.

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Krabs, W. On discretization in generalized rational approximation. Abh.Math.Semin.Univ.Hambg. 39, 231–244 (1973). https://doi.org/10.1007/BF02992832

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Keywords

  • Approximation Problem
  • Rational Approximation
  • Finite Subset
  • Initial Problem
  • Compact Hausdorff Space