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Fuzzy sets and non-stochastic linear partial information

Unscharfe Mengen (Fuzzy Sets) und nichtstochastische lineare partielle Information

Des ensembles flous (Fuzzy Sets) et l'information non stochastique partielle linéaire

Неопределенные множества (Fuzzy gets) и нестохастическая частичная информация

Zusammenfassung

Wir erweitern die Zadeh'schen Fuzzy-set (FS)-Zugehörigkeitsmaße (für Universalmengen mit endlicher Mächtigkeit a) durch den Übergang von Punkten des n-dimensionalen Einheitskubus K(n) zu Polyedern P(n) von K(n).

Die Mengenalgebra der klassischen FS-Theorie wird ebenso wie das Bellman-Zadeh'sche FS-Entscheidungsprinzip demgemäß erweitert. Im allgemeinen führen derartige Erweiterungen (im Gegensatz zum klassischen Fall) zu strategischen Spielen.

Relative Häufigkeiten werde als pivotale Zugehörigkeitsmaße definiert. Damit wird die gesamte LPI-Algorithmik auf die erweiterte FS-Theorie anwendbar. In bestimmten Fällen degenerieren die relativen Häufigkeiten zu Gewichten, welche ihrerseits a priori, a posteriori und subjektiv interpretiert werden können. Auch Glaubwürdigkeiten können prinzipiell in den Fassungen “Wahrscheinlichkeit”, “relative Häufigkeit” und “Gewicht” auftreten. Die Mengenalgebra wird für die Fassung “relative Häufigkeit” durch Übergang von der Kubus- zur Simplex-Interpretation (Normalform der LPI (h)-unscharfen Menge) erweitert.

Unter entscheidungstheoretischen Aspekten entspricht der Wahrscheinlichkeitsfassung das MaxEmin-Prinzip, der Häufigkeitsfassung das Prinzip der Maximierung des minimalen Durchschnittswertes (MaxDmin) und der Gewichtefassung das Prinzip der Maximierung der minimalen gewichteten Summe (MaxGmin).

Summary

We extend the fuzzy set (FS)-membership measures for finite universal sets in Zadeh's sense by the passage from points in the n-dimensional unit cube to points in n-dimensional polyhedra of the cube.

The set algebra of the classical FS-theory and the Bellman-Zadeh decision criterion are extended accordingly. In general, such extensions lead to strategic games, contrary to the classical case.

Relative frequencies are defined as pivotal membership measures. Therewith the LPI algorithmics is applicable to the extended FS-theory. In certain cases relative frequencies degenerate to weights. Measures of credibility can, in principal, occur in the versions “probability”, “relative frequency”, and “weight”.

The set algebra is extended for the relative frequency version by a passage from the cube-to the simplex-interpretation (standard form of LPI (h)-fuzzy sets). Under decision-theoretical aspects, the MaxEmin-principle is appropriate to the probability version, a new MaxDmin-principle (maximization of the minimal utility averages) to the relative frequency version, and another new one, the MaxGmin-principle (maximization of the minimal weighted sum), to the weight version.

Résumé

Nous élargissons les mesures d'adhérance Fuzzy-set (FS) de Zadeh (pour des ensembles universel finis) par la transition de points du cube standard n-dimensionel K(n) à des polyèdres P(n) de K(n).

Conformément à cela l'algèbre des ensembles de la théorie FS classique est élargi ainsi que le principe de décision FS de Bellman-Zadeh. De tels élargissements conduisent généralement à des jeux stratégiques (contrairement au cas classique).

Des fréquences relatives sont definies comme des mesures d'adhérence pivotes. Par cela toute l'algorithmique LPI devient applicable pour la théorie FS élargie. Les fréquences relatives degenèrent dans certains cas à des poids, qui—à leur tours sont interprètables de façon a priori, a posteriori et subjective. Des mesures de credibilité aussi peuvent se manifester en principe comme “probabilité”, “fréquence relative” et “pondération”. L'algèbre des ensembles est élargi pour le cas “fréquence relative” par la transition de l'interprétation cube à celle simplex forme normale de l'ensemble flou LPI(h).

Sous des aspects de la théorie des décisions le cas de la probabilité correspond au principe MaxEmin, celui de la fréquence au principe de la maximation de la valeur moyenne minimale (MaxDmin) et celui de la pondération au principe de la maximation de la somme minimale pondérée (MaxGmin).

Резюме

FS-мера принадлежности Задеха обобщается путем перехода от точек n-измеримосо единичного куба K(n) к полиэдрам из K(n). Этому соответствует новая алгебра множеств, отличающаяся от алгебры в классической FS-теории. Этим образом изменяется также принцип решения Беллман-Задеха. Это ведет в общем к статистическим играм. Рассматриваются особенные меры принадлежности: относительные частоты. Они ведут к тому, что вся LPJ-алгорифмика применяется в расширенной FS-теории. В особенных случаях относительные частоты переходят в весовые числа, которые интерпретируются в априорном, апостериорном и субъективном смысле. Также доверительные числа рассматриваются из точки зрения схемы: вероятность-относительная частота-вес. Особенные FS-меры принадлежности-относительные частоты-превращают неопределенные множества в кубической интерпретации в множества в симплексной интерпретации (нормальная форма неопределенных множеств вида

В области решений LPI(p), LPI(h), LPI(g) соотвествуют MaxEmin-, maxDmin-и MaxGmin-принципы.

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References

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Kofler, E., Menges, G. Fuzzy sets and non-stochastic linear partial information. Statistische Hefte 21, 246 (1980). https://doi.org/10.1007/BF02932885

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Keywords

  • Membership Function
  • Relative Frequency
  • Cela
  • Decision Matrix
  • Strategic Game