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Symetries du Probleme desN Corps, Regularisation des Solutions Centrales Singulieres

Symmetry problems ofn bodies, regulation of central singular solutions

Résumé

Le probème newtonien den masses ponctuelles est invariant dans plusieurs changements de variables spatio-temporelles. Ces symétries correspondent à des choix arbitraires du référentiel. Elles sont liées aux lois de conservation du mouvement par le théorème de Noether ou par sa généralisation. Pourn=2 l'auteur a défini deux famillles,S 1 etS 2, de symétries changeant l'excentricité d'une solution. La famille de symétries,S 1, est associée au choix arbitraire duniveau zéro du potentiel et peut échanger deux solutions non bornée et bornée. La famille de symétries,S 2, est liée à une éventuelleaffinité de l'espace des configurations. Via une symétrie de la familleS 2 une solution de moment angulaire nul est équivalente à une solution de moment angulaire non nul. Via un produit de symétries de chaque famille, désigné parS 1.S 2, une solution du problème des deux corps est équivalente à une solution circulaire. Dans cet article il est établi que certaines de ces transformations peuvent se généraliser à des symétries changeant la quantitéC 2 H du problème desn corps, oùC est le moment cinétique etH l'énergie. L'extension est aisée pour les solutions centrales car elles comportent plusieurs problèmes de deux corps synchrones. Nous considèrons le casn=3 pour l'exposition.

Les principaux résultats sont résumés par les propositions suivantes:

  1. (P1)

    Les deux familles de symétriesS 1 etS 2 sont décrites par une transformation d'espace qui est le produit d'une homothétie et d'une rotation, instantanées, complètée par un changement d'horaire.

  2. (P2)

    La famille de symétriesS 1 peut associer des solutions centrales, bornée et non bornée, de même type, c.à.d. alignée ou non alignée.

  3. (P3)

    La famille de symétriesS 2 peut régulariser les collisions multiples parmi les solutions centrales de même type.

Par conséquent une solution centrale, via une symétrie,S 1,S 2 ouS 1.S 2 est équivalente à une solution centrale circulaire, de même type. C'est une forme de régularisation.

Abstract

The newtonian problem ofn mass points bodies is invariant by several changes of spatio-temporal variables. These symmetries correspond to arbitrary choices of the referential and they are related via Noether's theorem or by its generalization to conservative quantities of the motion. Forn=2 the author has defined two families of symmetriesS 1 andS 2 changing the eccentricity of a solution. The family of symmetries,S 1, is associated to the arbitrary choice of thezero level of the potential and may related unbounded and bounded solutions. The family of symmetries,S 2, is related to a possibleaffinity of the configurations space. Via a symmetry of theS 2 family a zero angular momentum solution is equivalent to a non-zero angular momentum solution. Via a product of two symmetries of each family, denoted byS 1.S 2, any solution of the two-body problem is equivalent to a circular solution. In this paper it is shown that some of these transformations may be generalized to symmetries changing the quantityC 2 H in then-body problem, whereC is the angular momentum andH is the energy. The extension is easily made to central solutions of then-body problem because involving several synchroneous two-body problems. We consider for exposition then=3 case. The principal results may be resumed by the following propositions:

  1. (P1)

    The two families of symmetriesS 1 andS 2 are described by a spatial transformation product of an instantaneous homothethy and an instantaneous rotation completed by a change of temporal variable.

  2. (P2)

    TheS 1 family of symmetries may relate unbounded and bounded central solutions of the same type, i.e. unaligned or aligned.

  3. (P3)

    TheS 2 family of symmetries may regularize multiple collisions among central solutions of the same type.

Therefore any central solution, via a symmetryS 1 orS 2 orS 1.S 2, is equivalent to a central circular solution of the same type. That is a form of regularization.

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Colette, E. Symetries du Probleme desN Corps, Regularisation des Solutions Centrales Singulieres. Celestial Mech Dyn Astr 55, 369–386 (1993). https://doi.org/10.1007/BF00692995

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Mots clés

  • Symétries
  • référentiel
  • régularisation
  • solutions centrales du problème desn corps

Key words

  • Symmetries
  • referential
  • regularization
  • central solutions of then-body problem