Advertisement

Archive for Rational Mechanics and Analysis

, Volume 16, Issue 2, pp 97–125 | Cite as

Stabilitätsverhalten und verzweigung stationärer Lösungen der navier-stokesschen gleichungen

  • W. Velte
Article

Zusammenfassung

Am Beispiel der Strömung in einem horizontalen Rohr mit von unten erwärmter Wand wird gezeigt, wie man mit Hilfe der Theorie des topologischen Abbildungsgrades von Leray und Schauder im überkritischen Bereich der Rayleigh-Zahl auf die Existenz einer von der Grundströmung verschiedenen, stationären Strömung (thermische Konvektionsströmung) schließen kann. Unterhalb der kritischen Rayleigh-Zahl existiert genau eine stationäre Lösung der Navier-Stokesschen Bewegungsgleichungen, nämlich die Grundströmung. Beim Überschreiten der kritischen Rayleigh-Zahl verzweigt sich diese stationäre Lösung, wobei die Grundströmung gleichzeitig instabil wird.

Die Methode des Abbildungsgrades ist auf ähnliche Strömungsbeispiele mit „zellularer Instabilität” anwendbar wie z.B. die Strömung zwischen rotierenden Zylindern (Taylor-Wirbel) oder die von unten erwärmte Flüssigkeitsschicht (Benard-Zellen).

Preview

Unable to display preview. Download preview PDF.

Unable to display preview. Download preview PDF.

Literatur

  1. [1]
    Browder, F., On the regularity properties of solutions of elliptic differential equations. Comm. Pure Appl. Math. 9, 351–361 (1956).MathSciNetCrossRefGoogle Scholar
  2. [2]
    Collatz, L., Eigenwertprobleme und ihre numerische Behandlung. Leipzig: Akad. Verl. 1945.zbMATHGoogle Scholar
  3. [3]
    Collatz, L., Numerische Behandlung von Differentialgleichungen. Grundlehren Math. Wiss., Bd. 60. Berlin-Göttingen-Heidelberg: Springer 1955.zbMATHGoogle Scholar
  4. [4]
    Cronin, J., A topological method in nonlinear resonance. J. Math. Anal. Appl. 3, 428–440 (1961).MathSciNetCrossRefGoogle Scholar
  5. [5]
    Courant, R., & D. Hilbert, Methoden der mathematischen Physik, 2. Aufl. Berlin: Springer 1931.CrossRefGoogle Scholar
  6. [6]
    Friedrichs, K., Die Randwert- und Eigenwertprobleme aus der Theorie der elastischen Platten. Math. Ann. 98, 206–247 (1928).MathSciNetGoogle Scholar
  7. [7]
    Friedrichs, K., On the differentiability of the solutions of linear elliptic differential equations. Comm. Pure Appl. Math. 6, 299–325 (1953).MathSciNetCrossRefGoogle Scholar
  8. [8]
    Lefschetz, S., Introduction to Topology. Princeton Math. Series 11 (1949).Google Scholar
  9. [9]
    Krasnosel'skij, J. A., Some problems of nonlinear analysis. Amer. Math. Soc. Translat. Ser. 2, 10, 345–409 (1958).MathSciNetzbMATHGoogle Scholar
  10. [10]
    Leray, J., & J. Schauder, Topologie et équations fonctionelles. Ann. Sci. Ecole Norm. Sup. 3 Ser. 51, 45–78 (1934).zbMATHGoogle Scholar
  11. [11]
    Lichtenstein, L., Vorlesungen über einige Klassen nichtlinearer Integralgleichungen und Integrodifferentialgleichungen nebst Anwendungen. Berlin: Springer 1931.CrossRefGoogle Scholar
  12. [12]
    Lin, C. C., The Theory of Hydrodynamic Stability. Cambridge: Cambridge University Press 1955.zbMATHGoogle Scholar
  13. [13]
    Miranda, C., Equazioni alle derivate parziali di tipo ellitico. Erg. Math. Grenzgeb. Neue Folge Heft 2. Berlin-Göttingen-Heidelberg: Springer 1955.Google Scholar
  14. [14]
    Nirenberg, L., Remarks on strongly elliptic partial differential equations. Comm. Pure Appl. Math. 8, 648–674 (1955).MathSciNetCrossRefGoogle Scholar
  15. [15]
    Pellew, A., & R. V. Southwell, On maintained convective motion in a fluid heated from below. Proc. Roy. Soc. London, Ser. A 176, 312–343 (1940).ADSMathSciNetCrossRefGoogle Scholar
  16. [16]
    Rothe, E., Zur Theorie der topologischen Ordnung und der Vektorfelder in Banachschen Räumen. Compos. Math. 5, 177–197 (1937).zbMATHGoogle Scholar
  17. [17]
    Schmidt, E., Zur Theorie der linearen und nichtlinearen Integralgleichungen. III. Über die Auflösung der nichtlinearen Integralgleichung und die Verzweigung ihrer Lösungen. Math. Ann. 65, 370–399 (1908).MathSciNetCrossRefGoogle Scholar
  18. [18]
    Velte, W., Zur Stabilität der Strömung in einem horizontalen Rohr bei ungleichmäßig erwärmter Wand. ZAMP 13, 591–600 (1962).ADSzbMATHGoogle Scholar
  19. [19]
    Velte, W., Über nichtlineare Stabilitätsprobleme der Hydrodynamik. ZAMM 42 (1962) T 167 (Vortragsauszug).ADSGoogle Scholar

Copyright information

© Springer-Verlag 1964

Authors and Affiliations

  • W. Velte
    • 1
  1. 1.Institut für Angewandte Mathematik, Universität Freiburg i. Br.Germany

Personalised recommendations