Zusammenfassung
In einer Reihe von Abhandlungen hatI. N. Vekua eine Theorie der elliptischen partiellen Differentialgleichungen mit zwei unabhängigen Variabeln und mit analytischen Koeffizienten entwickelt, in welcher gewisse klassische Aspekte der Theorie der holomorphen Funktionen einer komplexen Veränderlichen verallgemeinert werden. Die Vekuasche Theorie ist für den angewandten Mathematiker insofern von Interesse, als sie ihm ein in manchen Fällen wirksames konstruktives Verfahren zur Herstellung der Lösungen in die Hand gibt.
Die vorliegende Arbeit ist als eine Einführung in die Vekuasche Theorie gedacht. Es werden in ihr vor allem die Vekuaschen Resultate bezüglich der analytischen Fortsetzung der Lösungen und ihrer Darstellung durch holomorphe Funktionen zur Sprache gebracht. In einer zweiten Arbeit soll die damit eng zusammenhängende Vekuasche Theorie der Randwertprobleme dargestellt werden. Der Autor hat die Gelegenheit wahrgenommen, die Vekuaschen Resultate um einige Beispiele zu bereichern und auch einige eigene Resultate einzuflechten, die dem gleichen Gedankenkreis angehören. Es sind neu oder fussen auf eigenen Arbeiten des Autors die Abschnitte über singuläre Differentialgleichungen (§ 4.3), Additionstheoreme (§ 4.4) und Cauchysche Anfangswertprobleme bei regulären und singulären Gleichungen (§ 5).
References
S. Bergman,Functions Satisfying Certain Partial Differential Equations of Elliptic Type and Their Representation, Duke math. J.14, 349–366 (1947).
A. Erdélyi et al., Higher Transcendental Functions, vol. I and II (New York, Toronto, London 1953).
A. Erdélyi,Singularities of Generalized Axially Symmetric Potentials, Comm. pure appl. Math.9, 403–414 (1956).
P. Henrici, Zur Funktionentheorie der Wellengleichung, Comment. math. helvet.27, 235–293 (1953).
P. Henrici, Über die Funktionen von Gegenbauer, Arch. Math.5, 92–98 (1954).
P. Henrici,On Certain Series Expansions Involving Whittaker Functions and Jacobi Polynomials, Pacific J. Math.5, 725–744 (1955).
P. Henrici,Addition Theorems for General Legendre and Gegenbauer Functions, J. rat. Mech. Anal.4, 983–1018 (1955).
P. Henrici,On Generating Functions for the Jacobi Polynomials, Pacific J. Math.5, 923–931 (1955)
P. Henrici,On the Domain of Regularity of Generalized Axially Symmetric Potentials. Proc. Amer. Math. Soc. (to appear).
E. Hille,Contributions to the Theory of Hermitian Series, II. The Representation Problem, Trans. Amer. Math. Soc.47, 80–94 (1940).
A. G. Mackie,Contour Integral Solutions of a Class of Differential Equations, J. rat. Mech. Anal.4, 733–750 (1955).
H. Pollard,Representation of an Analytic Function by a Laguerre Series, Ann. Math. [2]48, 358–365 (1947).
G. Szegö,On the Singularities of Zonal Harmonic Expansions, J. rat. Mech. Anal.3, 561–564 (1954).
I. N. Vekua,Novye metody rešenija elliptičeskikh uravnenij (New Methods for Solving Elliptic Equations] (OGIZ, Moskow and Leningrad 1948).
Author information
Authors and Affiliations
Rights and permissions
About this article
Cite this article
Henrici, P. A survey of I. N. Vekua's theory of elliptic partial differential equations with analytic coefficients. Journal of Applied Mathematics and Physics (ZAMP) 8, 169–203 (1957). https://doi.org/10.1007/BF01600500
Received:
Issue Date:
DOI: https://doi.org/10.1007/BF01600500